Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
A) Apenas II é verdadeira.
B) Apenas I é verdadeira.
C) Todas sảo falsas.
D) Apenas II e III são verdadeiras.
E) Apenas III é verdadeira.
F) Todas são verdadeiras.
G) Apenas I e III são verdadeiras.
H) Apenas I e II são verdadeiras.
I) Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são colineares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
II) Se A é LD, então S não pode ser LI.
III) Se S é gerador do \mathbb{R}^{3}, então A é LI.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3 em \mathbb R^3 e define
A=\{\vec v_1,\vec v_2\},\quad B=\{\vec v_1,\vec v_3\},\quad C=\{\vec v_2,\vec v_3\}.
Precisamos decidir quais das afirmativas I, II e III são verdadeiras, usando conceitos de independência linear (LI), dependência linear (LD), geração de \mathbb R^3 e base.

Passo 2

Analisando I:
I) “Se \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3 não são colineares, então S é base de \mathbb R^3.”
– Três vetores não colineares significam apenas que eles não estão todos numa mesma reta, mas podem ainda estar num mesmo plano, o que dá dependência linear em \mathbb R^3.
– Exemplo: em \mathbb R^3, escolha \vec v_1=(1,0,0), \vec v_2=(0,1,0) e \vec v_3=(1,1,0). Esses três não são colineares, mas estão no plano z=0, logo não geram todo \mathbb R^3 e são LD.
Portanto I é falsa.

Passo 3

Analisando II:
II) “Se A é LD, então S não pode ser LI.”
– Se A=\{\vec v_1,\vec v_2\} é LD, então \vec v_2 = c\,\vec v_1 para algum escalar c.
– Nesse caso \vec v_2 é combinação de \vec v_1, então qualquer conjunto que contenha \vec v_1 e \vec v_2 também é LD. Logo S é LD e não pode ser LI.
Portanto II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III:
III) “Se S é gerador de \mathbb R^3, então A é LI.”
– Se S gera \mathbb R^3, então o subespaço engendrado por S tem dimensão 3.
– Remover um vetor de S pode reduzir a dimensão gerada em no máximo 1, logo \dim\langle\vec v_1,\vec v_2\rangle\ge 2.
– Se A fosse LD, \dim\langle\vec v_1,\vec v_2\rangle=1, o que impediria S de alcançar dimensão 3.
Portanto A deve ser LI, e III é verdadeira.

Resposta

D) Apenas II e III são verdadeiras.

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