Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
A) Apenas II é verdadeira.
B) Apenas I é verdadeira.
C) Todas sảo falsas.
D) Apenas II e III são verdadeiras.
E) Apenas III é verdadeira.
F) Todas são verdadeiras.
G) Apenas I e III são verdadeiras.
H) Apenas I e II são verdadeiras.
I) Se
não são colineares, então
é uma base de
.
II) Se
é LD, então
não pode ser LI.
III) Se
é gerador do
, então
é LI.
A) Apenas II é verdadeira.
B) Apenas I é verdadeira.
C) Todas sảo falsas.
D) Apenas II e III são verdadeiras.
E) Apenas III é verdadeira.
F) Todas são verdadeiras.
G) Apenas I e III são verdadeiras.
H) Apenas I e II são verdadeiras.
I) Se
II) Se
III) Se
Passo 1
O enunciado dá três vetores
em
e define
Precisamos decidir quais das afirmativas I, II e III são verdadeiras, usando conceitos de independência linear (LI), dependência linear (LD), geração de
e base.
Passo 2
Analisando I:
I) “Se não são colineares, então
é base de
.”
– Três vetores não colineares significam apenas que eles não estão todos numa mesma reta, mas podem ainda estar num mesmo plano, o que dá dependência linear em .
– Exemplo: em , escolha
,
e
. Esses três não são colineares, mas estão no plano
, logo não geram todo
e são LD.
Portanto I é falsa.
I) “Se
– Três vetores não colineares significam apenas que eles não estão todos numa mesma reta, mas podem ainda estar num mesmo plano, o que dá dependência linear em
– Exemplo: em
Portanto I é falsa.
Passo 3
Analisando II:
II) “Se é LD, então
não pode ser LI.”
– Se é LD, então
para algum escalar
.
– Nesse caso é combinação de
, então qualquer conjunto que contenha
e
também é LD. Logo
é LD e não pode ser LI.
Portanto II é verdadeira.
II) “Se
– Se
– Nesse caso
Portanto II é verdadeira.
Passo 4
Analisando III:
III) “Se é gerador de
, então
é LI.”
– Se gera
, então o subespaço engendrado por
tem dimensão 3.
– Remover um vetor de pode reduzir a dimensão gerada em no máximo 1, logo
.
– Se fosse LD,
, o que impediria
de alcançar dimensão 3.
Portanto deve ser LI, e III é verdadeira.
III) “Se
– Se
– Remover um vetor de
– Se
Portanto
Resposta
D) Apenas II e III são verdadeiras.