Determine mathscr{L}\left\{f(t)\right\} das funções abaixo:
a) f(t)=t e^{2 t} \operatorname{sen}(4 t), t>0.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace \mathscr{L}\{f(t)\}
para
f(t)=t\,e^{2t}\sin(4t),\quad t>0.
O que vamos usar:
– A transformada de Laplace de \sin(4t).
– A propriedade de deslocamento exponencial: \mathscr{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a).
– A propriedade de derivação em s para fator t: \mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}G(s).

Passo 2

Recorde que
\mathscr{L}\{\sin(4t)\}(s) =\frac{4}{s^2+16}.
Defina
G(s)=\frac{4}{s^2+16}.

Passo 3

Aplique o deslocamento exponencial com a=2:
\mathscr{L}\{e^{2t}\sin(4t)\}(s) =G(s-2) =\frac{4}{(s-2)^2+16}.

Passo 4

Agora use \mathscr{L}\{t\,g(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}G(s) com
G(s)=\frac{4}{(s-2)^2+16}.
Calcule
\frac{d}{ds}\left[\frac{4}{(s-2)^2+16}\right] =4\cdot\bigl[-1\bigr]\cdot\frac{2(s-2)}{\bigl((s-2)^2+16\bigr)^2} =-\frac{8(s-2)}{\bigl((s-2)^2+16\bigr)^2}.
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\mathscr{L}\{t\,e^{2t}\sin(4t)\}(s) =-\left(-\frac{8(s-2)}{\bigl((s-2)^2+16\bigr)^2}\right) =\frac{8(s-2)}{\bigl((s-2)^2+16\bigr)^2}.

Resposta

\boxed{ \mathscr{L}\bigl\{t\,e^{2t}\sin(4t)\bigr\}(s) =\frac{8\,(s-2)}{\bigl((s-2)^2+16\bigr)^2}. }

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