Calcule
\mathscr{L}{f(t)}), ou
\mathscr{L}^{-1}{F(s)}), conforme seja o caso:
(c)
f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<1, \\\ 0, & t \geq 1 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)= \begin{cases} 1, & 0 \le t < 1,\\\\ 0, & t \ge 1, \end{cases}
e pede a transformada de Laplace \mathscr{L}\{f(t)\}. Vamos usar a definição integral da transformada de Laplace de uma função por partes.

Passo 2

Pela definição,
\mathscr{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-s t}\,dt.
Como f(t)=0 para t\ge1, o integral se reduz a
\mathscr{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{1}1\cdot e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Calculamos
\int_{0}^{1}e^{-s t}\,dt =\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{1} =-\frac{1}{s}e^{-s}+\frac{1}{s} =\frac{1-e^{-s}}{s}.

Passo 4

A integral converge para \Re(s)>0, condição usual de existência da transformada.

Resposta

\mathscr{L}\{f(t)\}=\frac{1-e^{-s}}{s},\quad \Re(s)>0.

Exercícios relacionados