Determine mathscr{L}\left\{f(t)\right\} das funções abaixo:
c) f(t)= \begin{cases}0 & , \text { se } 0 \leq t<1 \\\ t^{2}-2 t+2 & , \text { se } t \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases} 0,&0\le t<1,\\\ t^{2}-2t+2,&t\ge1. \end{cases}
O conteúdo é a definição de transformada de Laplace e o teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de translação), que permite escrever funções ativadas em t=1 via o passo de Heaviside.

Passo 2

Observamos que f(t) é nula até t=1 e depois coincide com t^{2}-2t+2. Podemos usar o passo de Heaviside H(t-1) definindo
f(t)=H(t-1)\,\bigl[(t^{2}-2t+2)\bigr].
Para aplicar o teorema de deslocamento, reescrevemos essa parte como função de u=t-1. Chamando
h(u)=(u+1)^{2}-2(u+1)+2,
temos
f(t)=H(t-1)\,h(t-1).

Passo 3

Expandindo h(u):
h(u)=(u+1)^{2}-2(u+1)+2 =u^{2}+2u+1-2u-2+2 =u^{2}+1.
Logo
f(t)=H(t-1)\bigl[(t-1)^{2}+1\bigr].

Passo 4

Pelo teorema do deslocamento no tempo,
\mathscr{L}\{H(t-1)\,h(t-1)\} =e^{-s}\,\mathscr{L}\{h(u)\},
onde
h(u)=u^{2}+1.

Passo 5

Calculamos a transformada de h(u):
\mathscr{L}\{u^{2}\} =\int_{0}^{\infty}u^{2}e^{-su}\,du =\frac{2}{s^{3}},
\mathscr{L}\{1\} =\int_{0}^{\infty}e^{-su}\,du =\frac{1}{s}.
Portanto
\mathscr{L}\{h(u)\} =\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{s}.
Multiplicando por e^{-s}, obtemos
\mathscr{L}\{f(t)\} =e^{-s}\Bigl(\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{s}\Bigr).

Resposta

\mathscr{L}\{f(t)\} =e^{-s}\Bigl(\frac{2}{s^{3}}+\frac{1}{s}\Bigr) =\frac{s^{2}+2}{s^{3}}\,e^{-s}.

Exercícios relacionados