Calcule
\mathscr{L}{f(t)}), ou
\mathscr{L}^{-1}{F(s)}), conforme seja o caso:
(c) Calcule
\mathscr{L}^{-1}(F)
, se
F(s)=\frac{2(s-1) e^{-2 s}}{s^{2}-2 s+2}
.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{2\,(s-1)\,e^{-2s}}{s^{2}-2s+2}.
O conteúdo envolvido é o teorema de deslocamento no tempo na transformada de Laplace e o uso da transformada conhecida \mathscr{L}\{e^{at}\cos(bt)\}=\dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.

Passo 2

Separe o fator exponencial:
F(s)=H(s)\,e^{-2s},\quad H(s)=\frac{2\,(s-1)}{s^{2}-2s+2}.
Pelo teorema de deslocamento, se \mathscr{L}^{-1}\{H(s)\}=h(t), então
\mathscr{L}^{-1}\{F(s)\}=h(t-2)\,u(t-2),
onde u(t) é o degrau de Heaviside.

Passo 3

Calcule h(t)=\mathscr{L}^{-1}\{H(s)\}. Reescreva o denominador completando quadrado:
s^{2}-2s+2=(s-1)^{2}+1.
Logo
H(s)=2\,\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}.
Compare com a forma
\mathscr{L}\{e^{t}\cos t\} =\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}.
Portanto
h(t)=2\,e^{t}\cos t.

Passo 4

Aplique o deslocamento no tempo:
f(t)=h(t-2)\,u(t-2) =2\,e^{\,t-2}\cos\bigl(t-2\bigr)\;u(t-2).

Resposta

f(t)=2\,e^{\,t-2}\cos\bigl(t-2\bigr)\,u(t-2).

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