Determine mathscrLf(x),
f(x)=lrx & 0 <= x <= 2 2 & x>2

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a transformada de Laplace de
O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar a definição
(\mathscr{L}{f}(s)=\displaystyle\int_{0}{\infty}e{-sx}f(x),dx]
e a divisão do integral em dois trechos.

Passo 2

Pela definição,
mathscrLf(s) =integral0^inftye^-sxf(x),dx =integral0^2x,e^-sx,dx +integral2^infty2,e^-sx,dx
Agora calculamos cada um desses termos separadamente.

Passo 3

Para integral0^2x,e^-sx,dx usamos integração por partes com
u=x e dv=e^-sx,dx.
Então du=dx e v=-tfrace^-sxs, e obtemos
integral0^2x,e^-sx,dx =-x,e^-sxs|0^2 +1sintegral0^2e^-sx,dx =-2e^-2ss +1sl(-e^-sxsr)|0^2 =-2e^-2ss+1-e^-2ss^2

Passo 4

Para integral2^infty2,e^-sx,dx temos uma integral exponencial padrão:
integral2^infty2,e^-sx,dx =2[-e^-sxs]2^infty =2e^-2ss

Passo 5

Somando os resultados de

Passo 6

mathscrLf(s) =-2e^-2ss+1-e^-2ss^2+2e^-2ss =1-e^-2ss^2

Resposta

mathscrLf(x)(s)=1-e^-2ss^2

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