Questão 4 (1,0 ponto). Seja Verifique se é diferenciável em
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se f é diferenciável em (0,0). Para isso vamos calcular as derivadas parciais em (0,0), obter o mapeamento linear candidato e usar a definição de diferenciabilidade (resto pequeno em relação à norma do vetor).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0
Passo 3
O candidato a diferencial em (0,0) é o mapeamento linear
L(x,y)=fx(0,0),x+fy(0,0),y=0
Passo 4
Para verificar diferenciabilidade, analisamos
f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =f(x,y)raizx^2+y^2
Em coordenadas polares (x=rcostheta,y=rsintheta) temos