Questão 4 (1,0 ponto). Seja f(x, y)=rr3 x^2 yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)-(0,0) Verifique se é diferenciável em (0,0)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfrac3x^2yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é diferenciável em (0,0). Para isso vamos calcular as derivadas parciais em (0,0), obter o mapeamento linear candidato e usar a definição de diferenciabilidade (resto pequeno em relação à norma do vetor).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0

Passo 3

O candidato a diferencial em (0,0) é o mapeamento linear
L(x,y)=fx(0,0),x+fy(0,0),y=0

Passo 4

Para verificar diferenciabilidade, analisamos
f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =f(x,y)raizx^2+y^2
Em coordenadas polares (x=rcostheta,y=rsintheta) temos
f(rcostheta,rsintheta) =3(rcostheta)^2(rsintheta)r^2 =3rcos^2thetasintheta
Logo
|f(x,y)raizx^2+y^2| =|3rcos^2thetasinthetar| =3rl|cos^2thetasinthetar|<=3r
Como r=raizx^2+y^2to0, esse quociente tende a zero.

Passo 5

Como o resto
f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2
vai a zero, f é diferenciável em (0,0) e seu diferencial é o mapa zero.

Resposta

A função é diferenciável em (0,0) e seu diferencial é o mapa linear nulo.

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