Prove que integral0^b x^3 d x=b^44, considerando partições em n sub-intervalos iguais, usando a fórmula
sumi=1^n i^3=n^2(n+1)^24

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integral0^b x^3,dx = b^44
usando partições em n sub-intervalos iguais e a fórmula
sumi=1^n i^3 = n^2(n+1)^24
O conteúdo principal aqui é a definição de integral definida via soma de Riemann e o cálculo do limite dessa soma quando ntoinfty.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,b] em n partes de tamanho
De<a x = bn
Tomando como amostra o ponto direito de cada sub-intervalo, temos
xi = i,De<a x = i,bn, i=1,2,dots,n
A soma de Riemann correspondente é
Sn = sumi=1^n l(xir)^3,De<a x = sumi=1^n l(i,bnr)^3,bn = b^4n^4sumi=1^ni^3
Usando a fórmula dada,
sumi=1^ni^3 = n^2(n+1)^24,
segue
Sn = b^4n^4cdotn^2(n+1)^24 = b^44,(n+1)^2n^2

Passo 3

Pela definição de integral como limite da soma de Riemann, avaliamos
integral0^b x^3,dx = limntoinfty Sn = limntoinftyb^44,(n+1)^2n^2 = b^44cdot 1 = b^44,
pois limntoinfty(1+tfrac1n)^2=1.

Resposta

integral0^b x^3,dx = b^44

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