Determine mathscrLf(x),
f(x)=lr1 & 0 <= x <= 1 e^x & 1<x <= 4 0 & x>4)

Passo 1

A definição da transformada de Laplace é
mathscrLf(x)(s)=integral0^inftyf(x),e^-s x,dx
Como f(x) vale 1 em [0,1], vale e^x em (1,4] e 0 para x>4, basta dividir a integral em três trechos:
integral0^inftyf(x)e^-s xdx =integral0^11cdot e^-s xdx +integral1^4e^xe^-s xdx +integral4^infty0cdot e^-s xdx

Passo 2

Calcular a primeira integral
integral0^1e^-s xdx
Usando a primitiva de e^-s x somos
integral e^-s xdx=-1se^-s x,
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integral0^1e^-s xdx =l[-1se^-s xr]0^1 =-1se^-s - l(-1se^0r) =1-e^-ss

Passo 3

Calcular a segunda integral
integral1^4e^xe^-s xdx =integral1^4e^(1-s)xdx
A primitiva de e^(1-s)x é
integral e^(1-s)xdx =11-se^(1-s)x, sneq1
Aplicando os limites,
integral1^4e^(1-s)xdx =l[11-se^(1-s)xr]1^4 =e^(1-s)4-e^(1-s),11-s

Passo 4

A terceira integral é zero, pois f(x)=0 para x>4. Somando os dois resultados válidos, obtemos
mathscrLf(x)(s) =1-e^-ss +e^(1-s)4-e^(1-s)1-s

Resposta

boxed mathscrLf(x)(s) =1-e^-ss +e^4(1-s)-e^1-s1-s

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