Determine mathscrL^-1F(s)=f(x) para
F(s)=ss^2+4 e^-pi s

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=ss^2+4,e^-pi s,
O conteúdo principal aqui é a segunda propriedade de deslocamento no domínio do tempo (teorema do atraso): multiplicar a imagem G(s) por e^-a s corresponde a atrasar a função original g(t) em a, gerando g(t-a),u(t-a), onde u é a função degrau de Heaviside.

Passo 2

Primeiro ignoramos o fator e^-pi s e achamos a inversa de
G(s)=ss^2+4,
Sabemos pelas tabelas de transformada de Laplace que
mathscrLcos(2t)=ss^2+2^2=ss^2+4,
Logo a transformada inversa de G(s) é
g(t)=cos(2t),

Passo 3

Agora usamos a segunda propriedade de deslocamento:
se mathscrLg(t)=G(s), então
mathscrL^-1G(s),e^-a s=g(t-a),u(t-a).
Aqui a=pi e g(t)=cos(2t). Portanto
f(x)=cosl(2(x-pi)r),u(x-pi),

Resposta

f(x)=u(x-pi),cos!l(2(x-pi)r),,
que também pode ser escrita como
f(x)=u(x-pi),cos(2x),,
pois cosl(2(x-pi)r)=cos(2x-2pi)=cos(2x).

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