Determine a Matriz Adjunta das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\\\ 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a matriz adjunta (ou adjugata) de uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3}. Para isso usamos a definição
\operatorname{adj}(A) = C^{T},
onde C é a matriz cujas entradas C_{ij} são os cofatores de A:
C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}
e M_{ij} é o determinante do menor que sobra ao riscar a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. Depois de calcular todos os C_{ij}, basta transpor C.

Passo 2

Vamos à primeira linha de cofatores de
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 1 & 3 & 2\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Para C_{11}:
M_{11} = \det\begin{pmatrix}3 & 2\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =3\cdot1 - 2\cdot2 = -1, \quad C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = -1.
Para C_{12}:
M_{12} = \det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - 2\cdot0 = 1, \quad C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = -1.
Para C_{13}:
M_{13} = \det\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2 - 3\cdot0 = 2, \quad C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} = 2.

Passo 3

Agora a segunda linha de cofatores. Para C_{21}:
M_{21} = \det\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =(-1)\cdot1 - 0\cdot2 = -1, \quad C_{21} = (-1)^{2+1}M_{21} = +1.
Para C_{22}:
M_{22} = \det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =2\cdot1 - 0\cdot0 = 2, \quad C_{22} = (-1)^{2+2}M_{22} = 2.
Para C_{23}:
M_{23} = \det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =2\cdot2 - (-1)\cdot0 = 4, \quad C_{23} = (-1)^{2+3}M_{23} = -4.

Passo 4

Finalmente a terceira linha de cofatores. Para C_{31}:
M_{31} = \det\begin{pmatrix}-1 & 0\\\ 3 & 2\end{pmatrix} =(-1)\cdot2 - 0\cdot3 = -2, \quad C_{31} = (-1)^{3+1}M_{31} = -2.
Para C_{32}:
M_{32} = \det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & 2\end{pmatrix} =2\cdot2 - 0\cdot1 = 4, \quad C_{32} = (-1)^{3+2}M_{32} = -4.
Para C_{33}:
M_{33} = \det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 1 & 3\end{pmatrix} =2\cdot3 - (-1)\cdot1 = 6+1 = 7, \quad C_{33} = (-1)^{3+3}M_{33} = 7.

Passo 5

A matriz de cofatores é
C = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2\\\\ 1 & 2 & -4\\\\ -2 & -4 & 7 \end{pmatrix}.
Transpondo, obtemos a adjunta:
\operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2\\\\ -1 & 2 & -4\\\\ 2 & -4 & 7 \end{pmatrix}.

Resposta

\operatorname{adj}\!\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\\\ 1 & 3 & 2\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2\\\\ -1 & 2 & -4\\\\ 2 & -4 & 7 \end{pmatrix}.

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