Determine a Matriz Adjunta das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 5 \\\\ 2 & 5 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz adjunta (ou adjugata) de uma matriz 3\times3. O conteúdo principal é:
– calcular os menores M_{ij} (determinantes 2\times2 obtidos ao riscar a linha i e a coluna j),
– formar os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
– montar a matriz de cofatores e, por fim, transpor essa matriz para obter a adjunta.

Passo 2

Definimos para uma matriz A=(a_{ij}) de ordem 3:
M_{ij}=\det\begin{pmatrix} \text{elimina linha }i,\;\text{coluna }j \end{pmatrix}, \qquad C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Depois formamos a matriz de cofatores (C_{ij}) e, por fim,
\operatorname{adj}(A) = (C_{ij})^{T}.

Passo 3

Calculamos os menores e cofatores da primeira linha:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}2 & 5\\\ 5 & -1\end{pmatrix} =2\cdot(-1)-5\cdot5=-27,\quad C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=-27.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}0 & 5\\\ 2 & -1\end{pmatrix} =0\cdot(-1)-5\cdot2=-10,\quad C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=+10.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}0 & 2\\\ 2 & 5\end{pmatrix} =0\cdot5-2\cdot2=-4,\quad C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=-4.

Passo 4

Calculamos os menores e cofatores da segunda linha:
M_{21}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 5 & -1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-1\cdot5=-6,\quad C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=+6.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & -1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-1\cdot2=-3,\quad C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=-3.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 5\end{pmatrix} =1\cdot5-1\cdot2=3,\quad C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-3.

Passo 5

Calculamos os menores e cofatores da terceira linha:
M_{31}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 2 & 5\end{pmatrix} =1\cdot5-1\cdot2=3,\quad C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=3.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 5\end{pmatrix} =1\cdot5-1\cdot0=5,\quad C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-5.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2-1\cdot0=2,\quad C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=2.

Passo 6

A matriz de cofatores é
(C_{ij})=\begin{pmatrix} -27 & 10 & -4\\\\ 6 & -3 & -3\\\\ 3 & -5 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 7

Transpondo (C_{ij}), obtemos a adjunta:
\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} -27 & 6 & 3\\\\ 10 & -3 & -5\\\\ -4 & -3 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

\operatorname{adj}\!\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 5\\\\ 2 & 5 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -27 & 6 & 3\\\\ 10 & -3 & -5\\\\ -4 & -3 & 2 \end{pmatrix}.

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