Determine a matriz de cada uma das formas bilineares abaixo, relativamente à base especificada (considere produtos internos usuais):
f: \mathbb{R}^{4} \times \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(u, v)=\langle u, v\rangle, \forall u, v \in \mathbb{R}^{4} com relação à base
\mathcal{B}=\{(-2,0,3,1),(1,2,1,-1),(0,1,2,-1),(1,2,3,1)\} .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a matriz da forma bilinear f:\mathbb{R}^4\times\mathbb{R}^4\to\mathbb{R} dada por f(u,v)=\langle u,v\rangle (produto interno usual) relativamente à base
\mathcal{B}=\{(-2,0,3,1),(1,2,1,-1),(0,1,2,-1),(1,2,3,1)\}.
Informações relevantes (tiradas do enunciado):
  • A forma bilinear é o produto interno euclidiano padrão, ou seja, o produto escalar usual em \mathbb{R}^4.
  • A base \mathcal{B} tem quatro vetores; vamos denotá-los por
b_1 = (-2,0,3,1),\quad b_2=(1,2,1,-1),\quad b_3=(0,1,2,-1),\quad b_4=(1,2,3,1).
O que é pedido: a matriz de f nessa base \mathcal{B}.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): a matriz G de uma forma bilinear f relativa à base \mathcal{B}=\{b_1,\dots,b_n\} tem entradas
G_{ij}=f(b_i,b_j).
No caso do produto interno euclidiano, f(b_i,b_j)=\langle b_i,b_j\rangle é simplesmente o produto escalar (dot product) entre os vetores b_i e b_j. O produto escalar em \mathbb{R}^4 é dado por
\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4,
onde x=(x_1,x_2,x_3,x_4) e y=(y_1,y_2,y_3,y_4). Logo, para montar a matriz basta calcular todos os produtos escalares \langle b_i,b_j\rangle para i,j=1,\dots,4. A matriz será simétrica porque \langle b_i,b_j\rangle=\langle b_j,b_i\rangle.

Passo 3

Vamos calcular a primeira linha/coluna: b_1 = (-2,0,3,1).
Cálculo de \langle b_1,b_1\rangle:
\langle b_1,b_1\rangle = (-2)^2 + 0^2 + 3^2 + 1^2 = 4 + 0 + 9 + 1 = 14.
Cálculo de \langle b_1,b_2\rangle com b_2=(1,2,1,-1):
\langle b_1,b_2\rangle = (-2)\cdot 1 + 0\cdot 2 + 3\cdot 1 + 1\cdot(-1) = -2 + 0 + 3 -1 = 0.
Cálculo de \langle b_1,b_3\rangle com b_3=(0,1,2,-1):
\langle b_1,b_3\rangle = (-2)\cdot 0 + 0\cdot 1 + 3\cdot 2 + 1\cdot(-1) = 0 + 0 + 6 -1 = 5.
Cálculo de \langle b_1,b_4\rangle com b_4=(1,2,3,1):
\langle b_1,b_4\rangle = (-2)\cdot 1 + 0\cdot 2 + 3\cdot 3 + 1\cdot 1 = -2 + 0 + 9 + 1 = 8.

Passo 4

Agora a segunda linha/coluna (alguns produtos já calculados pela simetria, mas vamos listar):
Cálculo de \langle b_2,b_2\rangle:
\langle b_2,b_2\rangle = 1^2 + 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 + 1 = 7.
Cálculo de \langle b_2,b_3\rangle:
\langle b_2,b_3\rangle = 1\cdot 0 + 2\cdot 1 + 1\cdot 2 + (-1)\cdot(-1) = 0 + 2 + 2 + 1 = 5.
Cálculo de \langle b_2,b_4\rangle:
\langle b_2,b_4\rangle = 1\cdot 1 + 2\cdot 2 + 1\cdot 3 + (-1)\cdot 1 = 1 + 4 + 3 -1 = 7.

Passo 5

Terceira linha/coluna:
Cálculo de \langle b_3,b_3\rangle:
\langle b_3,b_3\rangle = 0^2 + 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 0 + 1 + 4 + 1 = 6.
Cálculo de \langle b_3,b_4\rangle:
\langle b_3,b_4\rangle = 0\cdot 1 + 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + (-1)\cdot 1 = 0 + 2 + 6 -1 = 7.

Passo 6

Quarta linha/coluna:
Cálculo de \langle b_4,b_4\rangle:
\langle b_4,b_4\rangle = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 1^2 = 1 + 4 + 9 + 1 = 15.

Passo 7

Reunindo todos os valores obtidos, a matriz de f na base \mathcal{B} (a matriz de Gram) tem entradas G_{ij}=\langle b_i,b_j\rangle. Colocando os números em ordem (linha por linha) obtemos
G = \begin{pmatrix} 14 & 0 & 5 & 8\\[4pt] 0 & 7 & 5 & 7\\[4pt] 5 & 5 & 6 & 7\\[4pt] 8 & 7 & 7 & 15 \end{pmatrix}.
Observação amigável: a matriz é simétrica, como era de esperar, porque o produto escalar é simétrico.]

Resposta

\begin{pmatrix} 14 & 0 & 5 & 8\\[4pt] 0 & 7 & 5 & 7\\[4pt] 5 & 5 & 6 & 7\\[4pt] 8 & 7 & 7 & 15 \end{pmatrix}]

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