Determine a matriz de cada uma das formas bilineares abaixo, relativamente à base especificada (considere produtos internos usuais):
dada por
com relação à base
Passo 1
O enunciado pede: determinar a matriz da forma bilinear
dada por
(produto interno usual) relativamente à base
Informações relevantes (tiradas do enunciado):
- A forma bilinear é o produto interno euclidiano padrão, ou seja, o produto escalar usual em
. - A base
tem quatro vetores; vamos denotá-los por
O que é pedido: a matriz de
nessa base
.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): a matriz
de uma forma bilinear
relativa à base
tem entradas
No caso do produto interno euclidiano,
é simplesmente o produto escalar (dot product) entre os vetores
e
. O produto escalar em
é dado por
onde
e
. Logo, para montar a matriz basta calcular todos os produtos escalares
para
. A matriz será simétrica porque
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira linha/coluna:
.
Cálculo de :
Cálculo de
Cálculo de
com
:
Cálculo de
com
:
Cálculo de
com
:
Passo 4
Agora a segunda linha/coluna (alguns produtos já calculados pela simetria, mas vamos listar):
Cálculo de :
Cálculo de
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Passo 5
Terceira linha/coluna:
Cálculo de :
Cálculo de
Cálculo de
:
Passo 6
Quarta linha/coluna:
Cálculo de :
Cálculo de
Passo 7
Reunindo todos os valores obtidos, a matriz de
na base
(a matriz de Gram) tem entradas
. Colocando os números em ordem (linha por linha) obtemos
Observação amigável: a matriz é simétrica, como era de esperar, porque o produto escalar é simétrico.]