Determine a matriz de cada uma das formas bilineares abaixo, relativamente à base especificada (considere produtos internos usuais):
f: \mathbb{C}^{3} \times \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C} dada por f(u, v)=\langle u, a\rangle \cdot\langle v, b\rangle, com a, b \in \mathbb{C}^{3} fixos, com relação à base canônica de \mathbb{C}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá uma forma bilinear f:\mathbb{C}^3\times\mathbb{C}^3\to\mathbb{C} definida por
f(u,v)=\langle u,a\rangle\cdot\langle v,b\rangle,
onde a,b\in\mathbb{C}^3 são vetores fixos. Pede-se: determinar a matriz de f relativamente à base canônica de \mathbb{C}^3.
Informações relevantes fornecidas:
  • Vetores fixos a=(a_1,a_2,a_3)^T e b=(b_1,b_2,b_3)^T (coordenadas na base canônica).
  • A forma é dada como produto de dois produtos internos \langle u,a\rangle e \langle v,b\rangle.
  • Deve-se apresentar a matriz de f na base canônica.

Passo 2

Convenção e observação importante (para que f seja de fato bilinear no sentido habitual): vou adotar o produto interno “usualmente” usado aqui no contexto de formas bilineares sem conjugação, isto é
\langle x,y\rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3,
para que \langle\cdot,\cdot\rangle seja bilinear sobre \mathbb{C}. (Se o professor usar a convenção hermitiana com conjugação, então f seria apenas sesquilinear e a representação matricial muda de x^T M y para x^* M y; aqui escolhemos a convenção bilinear para corresponder ao enunciado “formas bilineares”.)

Passo 3

Lembrete teórico prático (como montar matriz de uma forma bilinear): dada uma forma bilinear f e a base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, a matriz M=(m_{ij}) relativa a essa base é dada por
m_{ij}=f(e_i,e_j).
Além disso, para vetores u,v com coordenadas coluna u=x e v=y na base canônica, vale a relação
f(u,v)=x^T M y.
Isso é o que vamos aplicar.

Passo 4

Calcular as entradas m_{ij}. Usamos que \langle e_i,a\rangle é simplesmente a i-ésima coordenada de a, ou seja \langle e_i,a\rangle=a_i (porque o produto interno escolhido soma produtos de coordenadas). Analogamente \langle e_j,b\rangle=b_j. Logo
m_{ij}=f(e_i,e_j)=\langle e_i,a\rangle\cdot\langle e_j,b\rangle = a_i\,b_j.

Passo 5

Escrever a matriz completa: as entradas m_{ij}=a_i b_j formam exatamente o produto externo (outer product) entre o vetor coluna a e o vetor linha b^T. Assim a matriz de f relativa à base canônica é
M = \bigl(a_i b_j\bigr)_{i,j=1}^3 = a\,b^T.
Em particular, escrevendo explicitamente,
M= \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3\\[4pt] a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3\\[4pt] a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3 \end{pmatrix}.
Verificação rápida: para u=(u_1,u_2,u_3)^T e v=(v_1,v_2,v_3)^T tem-se
u^T M v = \bigl(\sum_{i} u_i a_i\bigr)\bigl(\sum_{j} v_j b_j\bigr) = \langle u,a\rangle\cdot\langle v,b\rangle = f(u,v),
logo a matriz encontrada é a correta.]

Passo 6

Dica prática para prova: sempre que a forma tiver a expressão como produto de duas formas lineares (aqui u\mapsto\langle u,a\rangle e v\mapsto\langle v,b\rangle), a matriz é o produto externo dos vetores que representam essas formas lineares na base escolhida. Memoriza: produto de formas → matriz é outer product.

Resposta

M = a\,b^T = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3\\[4pt] a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3\\[4pt] a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3 \end{pmatrix}]

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