Determine a matriz canônica da transformação linear \mathrm{T}: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}^{2}
\mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}, 3 \mathrm{x}-2 \mathrm{z})

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} definida por
\mathrm{T}(x,y,z)=(2x,\;3x-2z).
O que se pede: determinar a matriz canônica (matriz de \mathrm{T} em relação às bases canônicas) dessa transformação linear.
Informações relevantes dadas:
  • Domínio: \mathbb{R}^{3}.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^{2}.
  • Regra de \mathrm{T}: substituição x,y,z em (2x,\;3x-2z).

Passo 2

O que é a matriz canônica? Vou explicar devagarinho e com carinho.
  • As bases canônicas são os vetores
    e_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\qquad e_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad e_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
    em \mathbb{R}^3 (domínio) e os vetores
    f_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad f_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}
    em \mathbb{R}^2 (contradomínio).
  • A matriz canônica A de \mathrm{T} (em relação às bases canônicas) é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores \mathrm{T}(e_1),\mathrm{T}(e_2),\mathrm{T}(e_3) expressas na base canônica de \mathbb{R}^2. Em outras palavras, colocar na coluna j a imagem do j-ésimo vetor da base do domínio.
  • Motivação rápida: para qualquer vetor \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} vale
    \mathrm{T}\!\left(\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}\right) =A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},
    portanto encontrar A é equivalente a encontrar \mathrm{T}(e_1),\mathrm{T}(e_2),\mathrm{T}(e_3).

Passo 3

Calcular \mathrm{T} aplicado aos vetores da base canônica (substituição direta na regra de \mathrm{T}).
  • Para e_1=(1,0,0): substituir x=1,\;y=0,\;z=0 em \mathrm{T}(x,y,z)=(2x,\;3x-2z). Assim
    \mathrm{T}(e_1)=\mathrm{T}(1,0,0)=(2\cdot 1,\;3\cdot 1-2\cdot 0)=(2,\;3).
  • Para e_2=(0,1,0): substituir x=0,\;y=1,\;z=0. Assim
    \mathrm{T}(e_2)=\mathrm{T}(0,1,0)=(2\cdot 0,\;3\cdot 0-2\cdot 0)=(0,\;0).
  • Para e_3=(0,0,1): substituir x=0,\;y=0,\;z=1. Assim
    \mathrm{T}(e_3)=\mathrm{T}(0,0,1)=(2\cdot 0,\;3\cdot 0-2\cdot 1)=(0,\;-2).

Passo 4

Construir a matriz canônica A colocando as imagens calculadas como colunas, na ordem \mathrm{T}(e_1),\mathrm{T}(e_2),\mathrm{T}(e_3). Assim
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 0 & -2 \end{pmatrix}.
Explicando: a primeira coluna \begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix} é \mathrm{T}(e_1), a segunda coluna \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} é \mathrm{T}(e_2) e a terceira coluna \begin{pmatrix}0\\\ -2\end{pmatrix} é \mathrm{T}(e_3).]

Passo 5

Verificação rápida (para ficar seguro e treinado para a prova): multiplicar A por um vetor qualquer \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} e conferir que dá \mathrm{T}(x,y,z).
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x+0\cdot y+0\cdot z\\[4pt] 3x+0\cdot y-2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x\\[4pt]3x-2z\end{pmatrix},
que coincide exatamente com \mathrm{T}(x,y,z). Boa — tudo consistente.]

Passo 6

Dica prática para a prova: sempre que pedirem a matriz canônica de uma transformação linear entre espaços com bases canônicas, basta calcular \mathrm{T} nos vetores e_1,e_2,\dots do domínio e colocar essas imagens como colunas na mesma ordem. Respira, faz com calma, e resolve assim que ver o enunciado — é direta e rápida.

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 0 & -2 \end{pmatrix}]

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