Determine a matriz canônica da transformação linear \mathrm{T}: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R}^{3} T(x, y)=(2 x+y, 3 x-y,-y).
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y) = (2x+y,\; 3x-y,\; -y).
O que se pede: determinar a matriz canônica (matriz padrão) de T, isto é, a matriz de T relativa às bases canônicas de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3. Informações relevantes:
O domínio é \mathbb{R}^2 e o contradomínio é \mathbb{R}^3.
As coordenadas de T(x,y) em função de x e y estão explicitadas acima.
A matriz procurada terá dimensão 3\times2 (três linhas e duas colunas), pois transforma vetores de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^3.
Passo 2
Conceito e método (explicação didática passo a passo): para encontrar a matriz canônica A de uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 em relação às bases canônicas, procede-se assim:
Denotar as vetores da base canônica de \mathbb{R}^2 por \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1).
As colunas da matriz A são exatamente as imagens T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2), nessa ordem. Isto vem da linearidade: para um vetor genérico (x,y)=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2,
T(x,y)=x\,T(\mathbf{e}_1)+y\,T(\mathbf{e}_2),
e isso equivale ao produto matricial A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} quando as colunas de A são T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2).
Portanto, basta calcular T(1,0) e T(0,1) e colocá‑los como colunas.]
Passo 3
Calcular T(\mathbf{e}_1)=T(1,0).
Aplicando a fórmula de T: