Determine a matriz canônica da transformação linear \mathrm{T}: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R}^{3}
T(x, y)=(2 x+y, 3 x-y,-y).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y) = (2x+y,\; 3x-y,\; -y).
O que se pede: determinar a matriz canônica (matriz padrão) de T, isto é, a matriz de T relativa às bases canônicas de \mathbb{R}^2 e \mathbb{R}^3. Informações relevantes:
  • O domínio é \mathbb{R}^2 e o contradomínio é \mathbb{R}^3.
  • As coordenadas de T(x,y) em função de x e y estão explicitadas acima.
  • A matriz procurada terá dimensão 3\times2 (três linhas e duas colunas), pois transforma vetores de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Conceito e método (explicação didática passo a passo): para encontrar a matriz canônica A de uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 em relação às bases canônicas, procede-se assim:
  • Denotar as vetores da base canônica de \mathbb{R}^2 por \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1).
  • As colunas da matriz A são exatamente as imagens T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2), nessa ordem. Isto vem da linearidade: para um vetor genérico (x,y)=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2,
T(x,y)=x\,T(\mathbf{e}_1)+y\,T(\mathbf{e}_2),
e isso equivale ao produto matricial A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} quando as colunas de A são T(\mathbf{e}_1) e T(\mathbf{e}_2).
  • Portanto, basta calcular T(1,0) e T(0,1) e colocá‑los como colunas.]

Passo 3

Calcular T(\mathbf{e}_1)=T(1,0).
Aplicando a fórmula de T:
  • primeira coordenada: 2\cdot 1 + 0 = 2,
  • segunda coordenada: 3\cdot 1 - 0 = 3,
  • terceira coordenada: -0 = 0.
    Logo
T(1,0) = \begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular T(\mathbf{e}_2)=T(0,1).
Aplicando a fórmula de T:
  • primeira coordenada: 2\cdot 0 + 1 = 1,
  • segunda coordenada: 3\cdot 0 - 1 = -1,
  • terceira coordenada: -1 = -1.
    Logo
T(0,1) = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar a matriz canônica A colocando T(1,0) como primeira coluna e T(0,1) como segunda coluna. Assim
A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] 3 & -1\\[4pt] 0 & -1 \end{pmatrix}.
Observação: A é 3\times2. Cada coluna é a imagem de um vetor da base canônica de \mathbb{R}^2.]

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): multiplicando A por um vetor genérico \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} obtém-se
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x+y\\[4pt]3x-y\\[4pt]-y\end{pmatrix},
que coincide exatamente com T(x,y). Isso confirma que a matriz A está correta.]

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] 3 & -1\\[4pt] 0 & -1 \end{pmatrix}]

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