Determine a matriz canônica das Transformações Lineares a seguir
T(x, y)=(y-2 x, x)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(y-2x,\;x).
O que se pede: encontrar a matriz canônica (a matriz de T relativa à base canônica padrão de \mathbb{R}^2, isto é, à base \{(1,0),(0,1)\}).
Informações relevantes:
  • A transformação é linear (pode ser representada por uma matriz).
  • A base canônica é e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
  • Para obter a matriz na base canônica, basta calcular T(e_1) e T(e_2) e colocá-los como colunas da matriz.

Passo 2

Conceito importante: se A é a matriz de uma transformação linear T na base canônica, então para qualquer vetor (x,y) visto como coluna temos
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\text{primeira componente de }T(x,y)\\[4pt]\text{segunda componente de }T(x,y)\end{pmatrix}.
Além disso, as colunas de A são exatamente T(e_1) e T(e_2), porque qualquer vetor (x,y) se escreve x e_1 + y e_2, e pela linearidade
T(x,y)=x\,T(e_1)+y\,T(e_2),
o que coincide com a multiplicação matricial quando as colunas são T(e_1) e T(e_2).]

Passo 3

Calcular T(e_1). Tomando e_1=(1,0), substituo na definição de T:
T(1,0)=(0-2\cdot1,\;1)=(-2,\;1).
Portanto T(e_1)=(-2,1).

Passo 4

Calcular T(e_2). Tomando e_2=(0,1), substituo na definição de T:
T(0,1)=(1-2\cdot0,\;0)=(1,\;0).
Portanto T(e_2)=(1,0).

Passo 5

Formar a matriz cujas colunas são T(e_1) e T(e_2), nessa ordem. Assim a matriz canônica A é
A=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Aqui a primeira coluna é T(e_1)=(-2,1) e a segunda coluna é T(e_2)=(1,0).]

Passo 6

Verificação rápida: multiplicando A por um vetor genérico \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} deve reproduzir T(x,y). Faço a multiplicação:
\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2x + 1\cdot y\\[4pt]1\cdot x + 0\cdot y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y-2x\\[4pt]x\end{pmatrix},
que é exatamente T(x,y). Perfeito — matriz conferida.]

Passo 7

Exemplo concreto para fixar: para (x,y)=(2,3),
  • Fórmula direta: T(2,3)=(3-2\cdot2,\;2)=( -1,\;2).
  • Usando a matriz:
\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4+3\\[4pt]2+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Confere com o cálculo direto.]

Resposta

\begin{pmatrix}-2 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}]

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