Determine a matriz canônica das Transformações Lineares a seguir
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que se pede: encontrar a matriz canônica (a matriz de
relativa à base canônica padrão de
, isto é, à base
).
Informações relevantes:
- A transformação é linear (pode ser representada por uma matriz).
- A base canônica é
e . - Para obter a matriz na base canônica, basta calcular
e e colocá-los como colunas da matriz.
Passo 2
Conceito importante: se
é a matriz de uma transformação linear
na base canônica, então para qualquer vetor
visto como coluna temos
Além disso, as colunas de
são exatamente
e
, porque qualquer vetor
se escreve
, e pela linearidade
o que coincide com a multiplicação matricial quando as colunas são
e
.]
Passo 3
Calcular
. Tomando
, substituo na definição de
:
Portanto
.
Passo 4
Calcular
. Tomando
, substituo na definição de
:
Portanto
.
Passo 5
Formar a matriz cujas colunas são
e
, nessa ordem. Assim a matriz canônica
é
Aqui a primeira coluna é
e a segunda coluna é
.]
Passo 6
Verificação rápida: multiplicando
por um vetor genérico
deve reproduzir
. Faço a multiplicação:
que é exatamente
. Perfeito — matriz conferida.]
Passo 7
Exemplo concreto para fixar: para
,
- Fórmula direta:
. - Usando a matriz:
Confere com o cálculo direto.]