Determine a matriz canônica das Transformações Lineares a seguir
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a matriz canônica da transformação linear
definida por
.”
Informações dadas:
Informações dadas:
- A transformação é
para todo . - Quer-se a matriz canônica (ou seja, a matriz de
relativa à base canônica padrão de ).
Passo 2
O que significa “matriz canônica” (explicação passo a passo):
- A base canônica padrão de
é com e . Vou usar essa base para representar vetores por coordenadas. - A regra prática para obter a matriz de uma transformação linear
relativamente à base canônica: calcular e ; as coordenadas de formam a primeira coluna da matriz e as coordenadas de formam a segunda coluna. - Essa construção funciona porque qualquer vetor
é e a ação de é linear, então a multiplicação matricial reproduz .
Passo 3
Calcular as imagens dos vetores da base canônica:
- Primeiro,
. Pela definição de ,
- Segundo,
. Pela definição de ,
Passo 4
Formar a matriz usando as imagens como colunas:
- As coordenadas de
são , que correspondem à coluna . - As coordenadas de
são , que correspondem à coluna . - Assim, a matriz canônica de
é a matriz cujas colunas são essas:
Passo 5
Verificação rápida (para fixar a ideia):
- Seja
a matriz encontrada, ou seja,
- Para um vetor arbitrário
escrito em coordenadas como , a multiplicação dá
que coincide com
. Isso confirma que a matriz está correta.]
Passo 6
Comentário didático e dica de prova:
- Essa transformação é chamada de transformação nula (ou transformação zero). Sempre que
envia todo vetor para o vetor zero, sua matriz em qualquer base é a matriz cujas colunas são todas vetores zero (na base escolhida). Na base canônica isso resulta na matriz zero . - Na prova: em vez de tentar “adivinhar” a matriz, calcule as imagens dos vetores da base canônica — é um método curto e seguro.