Determine a matriz canônica das Transformações Lineares a seguir
T(x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a matriz canônica da transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por T(x,y)=(0,0).”
Informações dadas:
  • A transformação é T(x,y)=(0,0) para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.
  • Quer-se a matriz canônica (ou seja, a matriz de T relativa à base canônica padrão de \mathbb{R}^2).

Passo 2

O que significa “matriz canônica” (explicação passo a passo):
  • A base canônica padrão de \mathbb{R}^2 é \{e_1,e_2\} com e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Vou usar essa base para representar vetores por coordenadas.
  • A regra prática para obter a matriz de uma transformação linear T relativamente à base canônica: calcular T(e_1) e T(e_2); as coordenadas de T(e_1) formam a primeira coluna da matriz e as coordenadas de T(e_2) formam a segunda coluna.
  • Essa construção funciona porque qualquer vetor (x,y) é x e_1 + y e_2 e a ação de T é linear, então a multiplicação matricial reproduz T.

Passo 3

Calcular as imagens dos vetores da base canônica:
  • Primeiro, T(e_1)=T(1,0). Pela definição de T,
T(1,0)=(0,0).
  • Segundo, T(e_2)=T(0,1). Pela definição de T,
T(0,1)=(0,0).

Passo 4

Formar a matriz usando as imagens como colunas:
  • As coordenadas de T(e_1) são (0,0), que correspondem à coluna \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • As coordenadas de T(e_2) são (0,0), que correspondem à coluna \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Assim, a matriz canônica de T é a matriz 2\times2 cujas colunas são essas:
\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (para fixar a ideia):
  • Seja A a matriz encontrada, ou seja,
A=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
  • Para um vetor arbitrário (x,y) escrito em coordenadas como \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}, a multiplicação dá
A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},
que coincide com T(x,y). Isso confirma que a matriz está correta.]

Passo 6

Comentário didático e dica de prova:
  • Essa transformação é chamada de transformação nula (ou transformação zero). Sempre que T envia todo vetor para o vetor zero, sua matriz em qualquer base é a matriz cujas colunas são todas vetores zero (na base escolhida). Na base canônica isso resulta na matriz zero 2\times2.
  • Na prova: em vez de tentar “adivinhar” a matriz, calcule as imagens dos vetores da base canônica — é um método curto e seguro.

Resposta

\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}]

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