Determine a matriz canônica das Transformações Lineares a seguir
Passo 1
O enunciado pede: determinar a matriz canônica (matriz de representação em relação às bases canônicas) da transformação linear
Informações dadas:
- A regra que transforma um vetor
em . - Pede-se a matriz canônica (ou matriz em relação à base padrão
.
Passo 2
O que significa “matriz canônica” de
?
- A matriz canônica de
é a matriz tal que, para todo vetor ,
onde
é visto como vetor coluna.
- Regra prática (muito usada na prova): as colunas de
são as imagens dos vetores da base canônica. Ou seja,
onde
e
. Vou usar essa regra passo a passo.
Passo 3
Calcular
.
Tomamos e substituímos em
:
Tomamos
Então
]
Passo 4
Calcular
.
Tomamos e substituímos:
Tomamos
Então
]
Passo 5
Montar a matriz a partir das colunas calculadas.
Pela regra da Passo 2, a primeira coluna de é
e a segunda coluna é
.
(Explicação didática: isso acontece porque qualquer vetor pode ser escrito como
. Pela linearidade,
Pela regra da Passo 2, a primeira coluna de
(Explicação didática: isso acontece porque qualquer vetor
ou seja, multiplicação da matriz cujas colunas são
pelo vetor coluna
.)
Passo 6
Verificação rápida (como usar na prova): se
tem colunas
e
, então para
vale
que coincide com a definição de
. Assim a montagem está correta.