Determine a matriz canônica das Transformações Lineares a seguir
T(x, y)=(2 x+y, x-y)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a matriz canônica (matriz de representação em relação às bases canônicas) da transformação linear
T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\qquad T(x,y)=(2x+y,\;x-y).
Informações dadas:
  • A regra que transforma um vetor (x,y) em (2x+y,\;x-y).
  • Pede-se a matriz canônica (ou matriz em relação à base padrão \,e_1=(1,0),\;e_2=(0,1)\,).

Passo 2

O que significa “matriz canônica” de T?
  • A matriz canônica de T é a matriz A tal que, para todo vetor v\in\mathbb{R}^2,
T(v)=A v,
onde v é visto como vetor coluna.
  • Regra prática (muito usada na prova): as colunas de A são as imagens dos vetores da base canônica. Ou seja,
\text{primeira coluna de }A = T(e_1),\qquad \text{segunda coluna de }A = T(e_2),
onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1). Vou usar essa regra passo a passo.

Passo 3

Calcular T(e_1).
Tomamos e_1=(1,0) e substituímos em T(x,y)=(2x+y,\;x-y):
T(1,0) = (2\cdot 1 + 0,\; 1 - 0) = (2,\;1).
Então T(e_1)=\displaystyle\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular T(e_2).
Tomamos e_2=(0,1) e substituímos:
T(0,1) = (2\cdot 0 + 1,\; 0 - 1) = (1,\;-1).
Então T(e_2)=\displaystyle\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar a matriz a partir das colunas calculadas.
Pela regra da Passo 2, a primeira coluna de A é T(e_1)=\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} e a segunda coluna é T(e_2)=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
(Explicação didática: isso acontece porque qualquer vetor (x,y) pode ser escrito como x e_1 + y e_2. Pela linearidade,
T(x,y)=xT(e_1)+yT(e_2),
ou seja, multiplicação da matriz cujas colunas são T(e_1),T(e_2) pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.)

Passo 6

Verificação rápida (como usar na prova): se A tem colunas T(e_1) e T(e_2), então para (x,y) vale
A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x+y\\\ x-y\end{pmatrix},
que coincide com a definição de T. Assim a montagem está correta.

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}]

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