Determine a matriz canônica das Transformações Lineares a seguir
T(x, y)=(x, y+x)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y) = (x,\; y+x).
Pede-se: determinar a matriz canônica (isto é, a matriz de T na base canônica padrão de \mathbb{R}^2).

Passo 2

Explicação do que significa “matriz canônica” e o método que vou usar (sem pular etapas).
  • A base canônica padrão de \mathbb{R}^2 é dada pelos vetores
e_1 = (1,0),\qquad e_2=(0,1).
  • Uma transformação linear é totalmente determinada pelas imagens desses vetores da base. Ou seja, basta calcular T(e_1) e T(e_2).
  • A matriz canônica A de T na base (e_1,e_2) tem como primeira coluna as coordenadas de T(e_1) na base canônica e como segunda coluna as coordenadas de T(e_2). Em outras palavras:
A = \begin{pmatrix} [T(e_1)] & [T(e_2)] \end{pmatrix},
onde cada coluna é um vetor coluna em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Calcular T(e_1).
T(e_1)=T(1,0)=(1,\;0+1)=(1,1).
Portanto a primeira coluna da matriz será \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular T(e_2).
T(e_2)=T(0,1)=(0,\;1+0)=(0,1).
Portanto a segunda coluna da matriz será \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Montar a matriz canônica juntando as colunas obtidas:
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida por multiplicação: para um vetor arbitrário (x,y),
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot x + 0\cdot y\\[4pt]1\cdot x + 1\cdot y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\[4pt]x+y\end{pmatrix},
que coincide com a definição de T(x,y). Tudo bate certinho.]

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar): aplique T em (2,3).
Pela definição, T(2,3)=(2,\;3+2)=(2,5).
Pela matriz,
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Mesma resposta — bom sinal!]

Passo 7

Resumo rápido: para achar a matriz canônica, calculei as imagens dos vetores da base canônica e coloquei essas imagens como colunas. Se ficar nervoso na prova, lembra desse passo a passo: calcule T(e_1) e T(e_2), escreva como colunas e verifique multiplicando por (x,y). Você consegue — força e foco!

Resposta

\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}]

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