Determine a matriz canônica das Transformações Lineares a seguir
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
Pede-se: determinar a matriz canônica (isto é, a matriz de
na base canônica padrão de
).
Passo 2
Explicação do que significa “matriz canônica” e o método que vou usar (sem pular etapas).
- A base canônica padrão de
é dada pelos vetores
- Uma transformação linear é totalmente determinada pelas imagens desses vetores da base. Ou seja, basta calcular
e . - A matriz canônica
de na base tem como primeira coluna as coordenadas de na base canônica e como segunda coluna as coordenadas de . Em outras palavras:
onde cada coluna é um vetor coluna em
.
Passo 3
Calcular
.
Portanto a primeira coluna da matriz será
.
Passo 4
Calcular
.
Portanto a segunda coluna da matriz será
.
Passo 5
Montar a matriz canônica juntando as colunas obtidas:
Verificação rápida por multiplicação: para um vetor arbitrário
,
que coincide com a definição de
. Tudo bate certinho.]
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para fixar): aplique
em
.
Pela definição, .
Pela matriz,
Pela definição,
Pela matriz,
Mesma resposta — bom sinal!]
Passo 7
Resumo rápido: para achar a matriz canônica, calculei as imagens dos vetores da base canônica e coloquei essas imagens como colunas. Se ficar nervoso na prova, lembra desse passo a passo: calcule
e
, escreva como colunas e verifique multiplicando por
. Você consegue — força e foco!