Determine a matriz canônica das Transformações Lineares a seguir T(x, y)=(-y, x)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(-y,x).
O que se pede: determinar a matriz canônica (matriz da transformação na base canônica padrão) de T.
Informações relevantes:
A transformação é definida para vetores (x,y)\in\mathbb{R}^2.
A base canônica padrão de \mathbb{R}^2 é formada por \(e_1=(1,0)) e \(e_2=(0,1)).
Para obter a matriz canônica devemos encontrar as imagens de \(e_1) e \(e_2) e colocá‑las como colunas.
Passo 2
Lembrete didático (o “porquê” do método). Seja A a matriz canônica de T na base padrão. Por definição, as colunas de A são as coordenadas de T(e_1) e T(e_2) em relação à base padrão. Em fórmula:
Explicando devagar: e_1 é o vetor coluna \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e e_2 é \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}. Aplicar T a esses vetores dá vetores em \mathbb{R}^2; esses vetores tornam‑se as colunas da matriz.
Passo 3
Calcular T(e_1). Usando a definição T(x,y)=(-y,x) com (x,y)=(1,0):
T(1,0)=(-0,1)=(0,1).
Portanto a primeira coluna de A é o vetor \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
Passo 4
Calcular T(e_2). Usando (x,y)=(0,1):
T(0,1)=(-1,0).
Portanto a segunda coluna de A é o vetor \begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix}.
Isto segue diretamente da regra das colunas: primeira coluna T(e_1)=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}, segunda coluna T(e_2)=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix}.]
Passo 6
Verificação rápida para fixar a ideia: multiplique A por um vetor genérico \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} e confira que dá T(x,y). Calculando:
que é exatamente T(x,y). Isso confirma que a matriz está correta.]
Passo 7
Interpretação geométrica curta (para ficar na memória): a transformação T(x,y)=(-y,x) corresponde a uma rotação de 90^\circ no sentido anti‑horário em \mathbb{R}^2. A matriz
\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
é a matriz de rotação de 90^\circ, tem determinante 1 e é uma matriz ortogonal (ou seja, preserva comprimentos).]