Determine uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P^{-1} A P.
(c) A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 2 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede uma matriz P ortogonal que a diagonalize e o cálculo de P^{-1}AP.
Conteúdo: diagonalização de matriz simétrica por meio de autovalores e autovetores ortonormais. Vamos achar o polinômio característico, seus autovalores, depois os autovetores, normalizá-los e montar P.

Passo 2

O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 2\\\\ 0 & -1-\lambda & 0\\\\ 2 & 0 & -\lambda \end{pmatrix} = (-1-\lambda)\bigl((-\lambda)^2 - 4\bigr) = (-1-\lambda)(\lambda^2 - 4).
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -2 e \lambda_3 = -1.

Passo 3

Para \lambda=2\) resolvemos \((A - 2I)v=0\): \[\begin{cases} -2v_1 + 2v_3 = 0,\\\\ -3v_2 = 0,\\\\ 2v_1 -2v_3 = 0. \end{cases}
Dessa equação vem v_2=0\] e \(v_1=v_3. Um autovetor é (1,0,1), que normalizado dá
v^{(1)} = \frac1{\sqrt{2}}\,(1,0,1).

Passo 4

Para \lambda=-2\) resolvemos \((A + 2I)v=0\): \[\begin{cases} 2v_1 + 2v_3 = 0,\\\\ 1\cdot v_2 = 0,\\\\ 2v_1 + v_3 = 0. \end{cases}
Dessa equação vem v_2=0\] e \(v_3=-v_1. Um autovetor é (1,0,-1), que normalizado dá
v^{(2)} = \frac1{\sqrt{2}}\,(1,0,-1).

Passo 5

Para \lambda=-1\) resolvemos \((A + I)v=0\): \[\begin{cases} v_1 + 2v_3 = 0,\\\\ 0\cdot v_2 = 0,\\\\ 2v_1 + v_3 = 0. \end{cases}
Da segunda equação v_2\] é livre e das outras vem \(v_1=v_3=0. Escolhendo v_2=1, um autovetor é (0,1,0), que já está normalizado:
v^{(3)} = (0,1,0).

Passo 6

Montamos P com as colunas dadas pelos autovetores ortonormais na ordem dos autovalores (2,-2,-1):
P = \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}} & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\ \frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.
Como P é ortogonal, temos P^{-1}=P^{T}. Calculando
P^{T}AP
obtemos a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores na mesma ordem:

Resposta

P = \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}} & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\ \frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}, \quad P^{-1}AP = P^{T}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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