Determine uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P^{-1} A P.
(a) A=\left(\begin{array}{ll}5 & 3 \\\\ 3 & 5\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma matriz P que diagonalize ortogonalmente
A = \begin{pmatrix}5 & 3\\[6pt]3 & 5\end{pmatrix}
e, em seguida, calcular P^{-1}AP. O conteúdo envolvido é a teoria de autovalores e autovetores de matrizes simétricas e a construção da mudança de base ortonormal.]
Passo 2
Começamos calculando os autovalores de A pela equação característica
Agora achamos um autovetor não nulo para cada autovalor e o normalizamos:
Para \lambda_1 = 8, resolvemos (A - 8I)v = 0, isto é
\begin{pmatrix}-3 & 3\\[4pt]3 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = 0,
o que implica y = x. Tomamos v_1 = (1,1).
O comprimento é \|v_1\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2, logo
Para \lambda_2 = 2, resolvemos (A - 2I)v = 0, isto é
\begin{pmatrix}3 & 3\\[4pt]3 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = 0,
o que implica y = -x. Tomamos v_2 = (1,-1).
O comprimento é \|v_2\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt2, logo