Determine uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P^{-1} A P.
(a) A=\left(\begin{array}{ll}5 & 3 \\\\ 3 & 5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz P que diagonalize ortogonalmente
A = \begin{pmatrix}5 & 3\\[6pt]3 & 5\end{pmatrix}
e, em seguida, calcular P^{-1}AP. O conteúdo envolvido é a teoria de autovalores e autovetores de matrizes simétricas e a construção da mudança de base ortonormal.]

Passo 2

Começamos calculando os autovalores de A pela equação característica
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}5 - \lambda & 3\\[4pt]3 & 5 - \lambda\end{pmatrix} = (5-\lambda)^2 - 3^2 = 0.
Isso dá
(5-\lambda)^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad 5 - \lambda = \pm 3 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1 = 8,\;\lambda_2 = 2.]

Passo 3

Agora achamos um autovetor não nulo para cada autovalor e o normalizamos:
  1. Para \lambda_1 = 8, resolvemos
    (A - 8I)v = 0, isto é
    \begin{pmatrix}-3 & 3\\[4pt]3 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = 0,
    o que implica y = x. Tomamos v_1 = (1,1).
    O comprimento é \|v_1\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2, logo
    u_1 = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  2. Para \lambda_2 = 2, resolvemos
    (A - 2I)v = 0, isto é
    \begin{pmatrix}3 & 3\\[4pt]3 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = 0,
    o que implica y = -x. Tomamos v_2 = (1,-1).
    O comprimento é \|v_2\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt2, logo
    u_2 = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Formamos a matriz P cujas colunas são os vetores ortonormais u_1 e u_2:
P = \begin{pmatrix}u_1 & u_2\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.
Como u_1 e u_2 são ortonormais, temos P^{-1} = P^T.]

Passo 5

Finalmente, calculamos
P^{-1}AP = P^T A P.
Por construção de autovetores, isso fica a matriz diagonal com os autovalores na ordem dos vetores em P:
P^{-1}AP = \begin{pmatrix}8 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz ortogonal que diagonaliza A é
P = \frac{1}{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix},
e a forma diagonal é
P^{-1}AP = \begin{pmatrix}8 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.]

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