Determine uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P^{-1} A P.
(b) A=\left(\begin{array}{ccc}6 & 0 & 6 \\\\ 0 & -2 & 0 \\\\ 6 & 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar ortogonalmente a matriz
A = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 6\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 6 & 0 & 1 \end{pmatrix}
ou seja, encontrar uma matriz ortogonal P (isto é, P^{-1}=P^{T}) tal que
P^{T} A\,P = D
seja diagonal. Para isso vamos (i) calcular os autovalores de A via polinômio característico, (ii) achar os autovetores, (iii) normalizá-los para formar uma base ortonormal, e por fim (iv) montar P com esses vetores como colunas.

Passo 2

O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 6-\lambda & 0 & 6\\\\ 0 & -2-\lambda & 0\\\\ 6 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (-2-\lambda)\Bigl((6-\lambda)(1-\lambda)-36\Bigr).
Como
(6-\lambda)(1-\lambda)-36 =\lambda^2-7\lambda-30,
resolvendo \lambda^2-7\lambda-30=0 obtemos \lambda=10 e \lambda=-3, e do fator -2-\lambda vem \lambda=-2. Logo os autovalores são
\lambda_1=10,\quad \lambda_2=-3,\quad \lambda_3=-2.

Passo 3

Para cada autovalor resolvemos [(A-\lambda I)v=0):
  1. Para \lambda_1=10:
    (A-10I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{cases} -4x+6z=0,\\\\ -12y=0,\\\\ 6x-9z=0, \end{cases}
    daí y=0\] e \[z=\tfrac{2}{3}x. Tomamos x=3, z=2, o autovetor v_1=(3,0,2).
    Normalizando:
    \|v_1\|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13},\quad u_1=\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{13}},0,\tfrac{2}{\sqrt{13}}\Bigr).
  2. Para \lambda_2=-3:
    (A+3I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{cases} 9x+6z=0,\\\ y=0,\\\\ 6x+4z=0, \end{cases}
    daí y=0\] e \[z=-\tfrac{3}{2}x. Tomamos x=2, z=-3, o autovetor v_2=(2,0,-3).
    Normalizando:
    \|v_2\|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13},\quad u_2=\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{13}},0,-\tfrac{3}{\sqrt{13}}\Bigr).
  3. Para \lambda_3=-2:
    (A+2I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{cases} 8x+6z=0,\\\\ 0=0,\\\\ 6x+3z=0, \end{cases}
    que força x=z=0\] e deixa \(y livre. Tomamos v_3=(0,1,0), já com norma 1, logo
    u_3=(0,1,0).

Passo 4

Escolhendo a ordem dos autovalores como \,10,\,-2,\,-3, montamos
P=\bigl[u_1\;\;u_3\;\;u_2\bigr] =\begin{pmatrix} \frac{3}{\sqrt{13}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{13}}\\\\ 0 & 1 & 0\\\ \frac{2}{\sqrt{13}} & 0 & -\frac{3}{\sqrt{13}} \end{pmatrix}.
Como P é ortogonal, P^{-1}=P^{T}.

Resposta

P=\begin{pmatrix} \frac{3}{\sqrt{13}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{13}}\\\\ 0 & 1 & 0\\\ \frac{2}{\sqrt{13}} & 0 & -\frac{3}{\sqrt{13}} \end{pmatrix}, \quad P^{-1}AP =\begin{pmatrix} 10 & 0 & 0\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.

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