Determine uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P^{-1} A P.
(d) A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\\\ -1 & 5 & -1 \\\\ 1 & -1 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz simétrica
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1\\\\ -1 & 5 & -1\\\\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}
e pede uma matriz P ortogonal que a diagonalize, ou seja, que satisfaça
P^{-1} A P = D
com D diagonal. Como A é simétrica, sabemos que dá para escolher P ortogonal ( P^{-1}=P^T) cujas colunas são autovetores unitários de A. Para isso, vamos achar os autovalores e autovetores, depois normalizar.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & -1 & 1\\\\ -1 & 5-\lambda & -1\\\\ 1 & -1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3 +11\lambda^2 -36\lambda +36.
Igualando a zero e fatorando, obtemos
\lambda^3 -11\lambda^2 +36\lambda -36 = (\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda-6)=0,
logo os autovalores são \lambda_1=2, \lambda_2=3 e \lambda_3=6.

Passo 3

Para \lambda=2\), resolvemos \[(A-2I)x=0 \\ \Longrightarrow\\ \begin{cases} x - y + z = 0,\\\\ - x +3y - z = 0, \end{cases}
que dá y=0\] e \(z=-x. Um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda=3\), resolvemos \[(A-3I)x=0 \\ \Longrightarrow\\ \begin{cases} -\,y + z =0,\\\ x - y =0, \end{cases}
que dá (x=y=z]. Um autovetor é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda=6\), resolvemos \[(A-6I)x=0 \\ \Longrightarrow\\ \begin{cases} x+y+z=0,\\\\ -3x -y + z =0, \end{cases}
que leva a y=-2z\], \(x=z. Um autovetor é
v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Agora normalizamos cada vetor para torná-los unitários:
u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\quad u_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad u_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 7

Tomando P com colunas (u_1,u_2,u_3), temos P ortogonal ( P^{-1}=P^T) e
P^{-1} A P = P^T A P = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.

Resposta

P pode ser escolhida como
P = \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt3} & \frac1{\sqrt6}\\\\ 0 & \frac1{\sqrt3} & -\frac2{\sqrt6}\\\\ -\frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt3} & \frac1{\sqrt6} \end{pmatrix},
e
P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}.

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