Determine se a matriz está na forma escalonada por linhas. Caso esta esteja, determine se ela também estána forma escalonada reduzida.
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
e pede primeiro para verificar se ela está em forma escalonada por linhas (row echelon form) e depois, se for o caso, checar se está também na forma escalonada reduzida por linhas (reduced row echelon form). Para isso, vamos usar as definições:
  1. Uma matriz está em forma escalonada por linhas se
    a. todas as linhas não nulas ficam acima de qualquer linha nula;
    b. o primeiro elemento não nulo (pivot) de cada linha está à direita do pivot da linha anterior;
    c. todos os elementos abaixo de cada pivot são zeros.
  2. A matriz está em forma escalonada reduzida por linhas se, além de (1), cada pivot vale 1 e é o único elemento não zero em sua coluna.

Passo 2

Conferindo a forma escalonada por linhas:
a. Não há linhas completamente nulas, então a condição (a) está satisfeita.
b. Os pivôs aparecem em posições \,a_{11}=1, \,a_{22}=1 e \,a_{33}=1. Note que as colunas dos pivôs são 1, 2 e 3, em ordem crescente, então cada pivot está à direita do da linha acima, satisfazendo (b).
c. Abaixo de \,a_{11} temos zeros em \,a_{21} e \,a_{31}; abaixo de \,a_{22} está zero em \,a_{32}; abaixo de \,a_{33} não há linhas. Logo, todos os elementos abaixo de cada pivot são zeros, satisfazendo (c).
Portanto, A está em forma escalonada por linhas.

Passo 3

Agora verificamos a forma escalonada reduzida por linhas. Já temos pivôs iguais a 1, mas precisamos checar se são os únicos elementos não zero em suas colunas:
  • Na coluna do primeiro pivot (coluna 1), só aparece 1 em a_{11} e zeros nas outras linhas. OK.
  • Na coluna do segundo pivot (coluna 2), só aparece 1 em a_{22} e zeros nas outras linhas. OK.
  • Na coluna do terceiro pivot (coluna 3), aparece 1 em a_{33} mas também temos 2 em a_{13} e 3 em a_{23}. Esses não são zeros, então a coluna do terceiro pivot não está reduzida.
Logo, A não está na forma escalonada reduzida por linhas.

Resposta

A matriz está em forma escalonada por linhas, mas não está em forma escalonada reduzida por linhas.

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