Determine se a matriz está na forma escalonada por linhas. Caso esta esteja, determine se ela também estána forma escalonada reduzida.
\left[\begin{array}{rrrr}-2 & 0 & 1 & 5 \\\\ 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 & 5 \\\\ 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
está em forma escalonada por linhas (row echelon form) e, em caso afirmativo, se ela também está em forma escalonada por linhas reduzida (reduced row echelon form). Para isso, precisamos usar as definições de cada forma.

Passo 2

Forma escalonada por linhas requer:
  1. Todas as linhas nulas (se existirem) devem ficar abaixo das linhas não nulas.
  2. O primeiro elemento não nulo (pivot) de cada linha não nula está à direita do pivot da linha acima.
  3. As entradas abaixo de cada pivot são zeros.
Em A:
  • A linha 1 tem pivot em coluna 1: -2.
  • A linha 2 tem pivot em coluna 2: -1, que está à direita do pivot da linha 1.
  • A linha 3 tem pivot em coluna 4: 2, que está à direita do pivot da linha 2.
  • Não há linhas nulas acima de linhas não nulas, e todas as entradas abaixo de cada pivot são zero.
Logo, A está em forma escalonada por linhas.

Passo 3

Para ser forma escalonada por linhas reduzida, além das condições anteriores, é preciso:
  1. Cada pivot valer 1.
  2. Em cada coluna de pivot, todas as outras entradas (acima e abaixo) devem ser zero.
Em A:
  • Os pivots são -2, -1 e 2, que não são iguais a 1.
  • Na coluna do terceiro pivot (coluna 4), há entradas não nulas acima 5 e 1.
Portanto, A não satisfaz as condições de forma escalonada por linhas reduzida.

Resposta

A matriz está em forma escalonada por linhas, mas não está em forma escalonada por linhas reduzida.

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