Determine se a matriz está na forma escalonada por linhas. Caso esta esteja, determine se ela também estána forma escalonada reduzida.
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 1 & 1 & 2 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
está em forma escalonada por linhas (REF) e, se estiver, se também está em forma escalonada reduzida por linhas (RREF). Vamos usar as definições desses dois conceitos de álgebra linear.]

Passo 2

Para que A esteja em forma escalonada por linhas (REF), devem valer as condições:
  1. Todas as linhas nulas (se houver) estão abaixo das linhas não nulas.
  2. Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (pivô) está à direita do pivô da linha acima.
  3. Abaixo de cada pivô, todos os elementos são zeros.
    Na matriz A temos:
    – Linha 1 não nula, pivô em (1,1).
    – Linha 2 não nula, pivô em (2,2), que está à direita de (1,1).
    – Linha 3 é totalmente nula e está embaixo.
    – Abaixo de cada pivô não há elementos não nulos.
    Logo, todas as condições de REF estão satisfeitas.

Passo 3

Para que A esteja em forma escalonada reduzida por linhas (RREF), além das condições de REF, exige-se ainda que:
  1. Cada pivô vale 1.
  2. Em cada coluna de pivô, esse 1 seja o único elemento não zero.
    Em A os pivôs são exatamente os 1’s em (1,1) e (2,2). Ambas posições têm zeros em toda a coluna, exceto o próprio pivô, e cada pivô já vale 1. Portanto, A satisfaz as condições de RREF.

Resposta

A matriz está em forma escalonada por linhas (REF).
Ela também está em forma escalonada reduzida por linhas (RREF).

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