Determine uma matriz fundamental para cada sistema X^prime=A X, onde:
A=(ll 0 & 1 1 & 0 )

Passo 1

O enunciado pede uma matriz fundamental para o sistema X'=A X com A=0&11&0. O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares com matriz constante usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Começamos encontrando o polinômio característico de A. Temos
det(A-lambda I)=det-lambda&11&-lambda=lambda^2-1=0
Logo os autovalores são lambda1=1 e lambda2=-1. Para lambda1=1, resolvemos (A-I)v=0 e achamos o autovetor v1=(1,1)^T. Para lambda2=-1, resolvemos (A+I)v=0 e obtemos v2=(1,-1)^T.

Passo 3

Cada par (lambdai,vi) gera uma solução fundamental Xi(t)=e^lambdai tvi. Assim:
$$X_1(t)=e^{t} X1(t)=e^t11, X2(t)=e^-t1-1 ,\quad X_2(t)=e^{-t} .
$$
Colocando essas soluções como colunas, temos a matriz fundamental.

Passo 4

Verificamos que as colunas são linearmente independentes para todo t, logo a matriz montada é de fato uma matriz fundamental do sistema.

Resposta

Phi(t)=e^t&e^-t[6pt]e^t&-e^-t

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