Determine a solução geral dos sitemas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais lineares. A gente vai precisar usar conceitos de matrizes, autovalores, autovetores e métodos para resolver sistemas lineares não homogêneos. Basicamente, vamos resolver a parte homogênea e depois achar uma solução particular para o sistema completo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte homogênea do sistema, ou seja, resolver:
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz. Os autovalores são valores de λ que satisfazem a equação det(A - λI) = 0.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de $ A - \lambda I $:
Calculando o determinante:
Simplificando isso, encontramos os autovalores da matriz.
Passo 4
Após calcular, descobrimos que os autovalores são λ = 1, com multiplicidade 2, e λ = -2. Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores correspondentes resolvendo $ (A - \lambda I)X = 0 $.
Passo 5
Para λ = 1:
Resolvendo $ (A - I)X = 0 $, encontramos os autovetores correspondentes a λ = 1.
Para λ = -2:
Resolvendo $ (A + 2I)X = 0 $, encontramos o autovetor correspondente a λ = -2.
Passo 6
Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral da parte homogênea é uma combinação linear desses autovetores multiplicados por $ e^{\lambda t} $. Então:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes e $ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 $ são os autovetores.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo:
Como o termo não homogêneo é $ e^{t} $, assumimos uma solução particular da forma $ X_p(t) = \mathbf{u} e^{t} $, onde $ \mathbf{u} $ é um vetor a ser determinado.
Passo 8
Substituindo $ X_p(t) $ na equação, temos:
Simplificando, obtemos:
Resolvendo esse sistema, encontramos o vetor $ \mathbf{u} $.
Passo 9
Depois de encontrar $ \mathbf{u} $, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema é uma combinação das soluções homogênea e particular, dada por:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais, $ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 $ são os autovetores correspondentes aos autovalores encontrados, e $ \mathbf{u} $ é o vetor encontrado na solução particular.