Determine a solução geral dos sitemas:
X^prime=(ccc 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 -2 & -2 & -2 ) X+(c e^t e^t -e^t )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais lineares. A gente vai precisar usar conceitos de matrizes, autovalores, autovetores e métodos para resolver sistemas lineares não homogêneos. Basicamente, vamos resolver a parte homogênea e depois achar uma solução particular para o sistema completo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte homogênea do sistema, ou seja, resolver:
X' = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 -2 & -2 & -2 X
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz. Os autovalores são valores de λ que satisfazem a equação det(A - λI) = 0.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de $ A - \lambda I $:
A - lambda I
Calculando o determinante:
A - lambda I = 1-lambda & 1 & 1 1 & 1-lambda & 1 -2 & -2 & -2-lambda
Simplificando isso, encontramos os autovalores da matriz.

Passo 4

Após calcular, descobrimos que os autovalores são λ = 1, com multiplicidade 2, e λ = -2. Agora, para cada autovalor, vamos encontrar os autovetores correspondentes resolvendo $ (A - \lambda I)X = 0 $.

Passo 5

Para λ = 1:
(A - I) = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 -2 & -2 & -3
Resolvendo $ (A - I)X = 0 $, encontramos os autovetores correspondentes a λ = 1.
Para λ = -2:
(A - I)X = 0
Resolvendo $ (A + 2I)X = 0 $, encontramos o autovetor correspondente a λ = -2.

Passo 6

Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral da parte homogênea é uma combinação linear desses autovetores multiplicados por $ e^{\lambda t} $. Então:
e^lambda t
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes e $ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 $ são os autovetores.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo:
X' = AX + e^t e^t -e^t
Como o termo não homogêneo é $ e^{t} $, assumimos uma solução particular da forma $ X_p(t) = \mathbf{u} e^{t} $, onde $ \mathbf{u} $ é um vetor a ser determinado.

Passo 8

Substituindo $ X_p(t) $ na equação, temos:
Xp(t)
Simplificando, obtemos:
u e^t = A u e^t + e^t e^t -e^t
Resolvendo esse sistema, encontramos o vetor $ \mathbf{u} $.

Passo 9

Depois de encontrar $ \mathbf{u} $, a solução particular é:
u

Passo 10

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a solução particular:
X(t) = Xh(t) + Xp(t)

Resposta

A solução geral do sistema é uma combinação das soluções homogênea e particular, dada por:
X(t) = C1 e^t v1 + C2 e^t v2 + C3 e^-2t v3 + u e^t
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais, $ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 $ são os autovetores correspondentes aos autovalores encontrados, e $ \mathbf{u} $ é o vetor encontrado na solução particular.

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