Determine uma matriz fundamental para cada sistema X^prime=A X, onde:
A=(cc -5 & 2 -2 & -5 )

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz fundamental (ou seja, uma matriz cujas colunas são duas soluções linearmente independentes) para o sistema X'=AX com
A=-5 & 2-2 & -5
Vamos usar a teoria de autovalores e autovetores complexos e, a partir deles, extrair duas soluções reais independentes.

Passo 2

Para começar, computamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I)=det-5-lambda & 2-2 & -5-lambda=( -5-lambda)^2 - (2)(-2)= (lambda+5)^2+4
Igualando a zero:
(lambda+5)^2+4=0Longrightarrowlambda+5=pm 2,iLongrightarrowlambda1,2=-5pm 2,i
Aqui vemos um par de autovalores complexos conjugados.

Passo 3

Agora vamos achar um autovetor para lambda=-5+2i. Resolvendo (A-lambda I)v=0
-5-(-5+2i) & 2-2 & -5-(-5+2i)v =-2i & 2-2 & -2iv1v2=0
Da primeira linha segue -2i,v1+2,v2=0 ou v2=i,v1. Escolhendo v1=1 temos o autovetor complexo
v=1i

Passo 4

A solução complexa correspondente é e^lambda tv=e^(-5+2i)t1i. Para obter duas soluções reais independentes, separamos a parte real e a imaginária de
e^-5te^2i t1i =e^-5tcos(2t)+isin(2t)i(cos(2t)+isin(2t)) =e^-5tcos(2t)+isin(2t)-sin(2t)+icos(2t)
Daí surgem as duas soluções reais:
X1(t)=e^-5tcos(2t)-sin(2t), X2(t)=e^-5tsin(2t)cos(2t)

Passo 5

Finalmente, montamos a matriz fundamental cujas colunas são X1(t) e X2(t). Essa matriz é invertível para todo t e resolve o sistema linear de primeira ordem.
Como resultado, a matriz fundamental é:

Resposta

Phi(t)=e^-5tcos(2t) & sin(2t)-sin(2t) & cos(2t)

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