Determine uma matriz fundamental para cada sistema
, onde:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma matriz fundamental (ou seja, uma matriz cujas colunas são duas soluções linearmente independentes) para o sistema
com
Vamos usar a teoria de autovalores e autovetores complexos e, a partir deles, extrair duas soluções reais independentes.
Passo 2
Para começar, computamos o polinômio característico de
:
Igualando a zero:
Aqui vemos um par de autovalores complexos conjugados.
Passo 3
Agora vamos achar um autovetor para
. Resolvendo
dá
Da primeira linha segue
ou
. Escolhendo
temos o autovetor complexo
Passo 4
A solução complexa correspondente é
. Para obter duas soluções reais independentes, separamos a parte real e a imaginária de
Daí surgem as duas soluções reais:
Passo 5
Finalmente, montamos a matriz fundamental cujas colunas são
e
. Essa matriz é invertível para todo
e resolve o sistema linear de primeira ordem.
Como resultado, a matriz fundamental é:
Como resultado, a matriz fundamental é: