Determine uma matriz fundamental para cada sistema X^prime=A X, onde:
A=(lll 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 )

Passo 1

Estamos lidando com o sistema linear X′=AX onde
A=1 & 1 & 00 & 1 & 10 & 0 & 1
O conteúdo é equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e vamos precisar da matriz exponencial e^At para construir a matriz fundamental.

Passo 2

Para um sistema X′=AX com A constante, uma matriz fundamental pode ser escolhida como
Φ(t)=e^At
Isso vem da teoria de que e^At satisfaz Φ(t)=AΦ(t) e Φ(0)=I.

Passo 3

Definimos a parte nilpotente de A como N=A-I, pois A é a soma de uma matriz diagonal ( I) e de uma nilpotente:
N= A-I=0 & 1 & 00 & 0 & 10 & 0 & 0

Passo 4

Calculamos as potências de N:
N^2=0 & 0 & 10 & 0 & 00 & 0 & 0,
e observamos que
N^3=0

Passo 5

Como A=I+N e I comuta com N, usamos a fatoração
e^At=e^(I+N)t=e^te^Nt
E pela série de Taylor para e^Nt, já que N^3=0, temos
e^Nt=I+Nt+(Nt)^22!

Passo 6

Agora juntamos tudo e obtemos:
e^At=e^tl(I+Nt+tfract^22N^2r) =e^t1 & 0 & 00 & 1 & 00 & 0 & 1 +e^tt0 & 1 & 00 & 0 & 10 & 0 & 0 +e^tt^220 & 0 & 10 & 0 & 00 & 0 & 0

Passo 7

Somando as parcelas matriciais, chega-se a
Φ(t)=e^At=e^t1 & t & tfract^220 & 1 & t0 & 0 & 1,
que é uma matriz fundamental do sistema.

Resposta

A matriz fundamental pode ser escolhida como:
Φ(t)=e^At=e^t1 & t & tfract^220 & 1 & t0 & 0 & 1

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