Determine uma matriz fundamental para cada sistema , onde:
Passo 1
Estamos lidando com o sistema linear X′=AX onde
A=1 & 1 & 00 & 1 & 10 & 0 & 1
O conteúdo é equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e vamos precisar da matriz exponencial e^At para construir a matriz fundamental.
Passo 2
Para um sistema X′=AX com A constante, uma matriz fundamental pode ser escolhida como
Φ(t)=e^At
Isso vem da teoria de que e^At satisfaz Φ(t)=AΦ(t) e Φ(0)=I.
Passo 3
Definimos a parte nilpotente de A como N=A-I, pois A é a soma de uma matriz diagonal (I) e de uma nilpotente:
N= A-I=0 & 1 & 00 & 0 & 10 & 0 & 0
Passo 4
Calculamos as potências de N:
N^2=0 & 0 & 10 & 0 & 00 & 0 & 0,
e observamos que
N^3=0
Passo 5
Como A=I+N e I comuta com N, usamos a fatoração
e^At=e^(I+N)t=e^te^Nt
E pela série de Taylor para e^Nt, já que N^3=0, temos