Determine a solução geral dos sitemas:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares da forma:
Aqui, $ X $ é um vetor de funções que queremos encontrar. O conteúdo que vamos utilizar envolve sistemas lineares de equações diferenciais e métodos para resolver sistemas não homogêneos, como a utilização da solução geral da parte homogênea e uma solução particular da parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, que é quando o lado direito não tem o termo com $ b(t) $. Então temos:
Onde $ A $ é a matriz:
Como $ A $ é uma matriz triangular superior, os valores próprios são os elementos da diagonal, que são todos iguais a 1. Isso facilita um pouco na hora de encontrar a solução geral da parte homogênea.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução geral da parte homogênea. Sabemos que para sistemas desse tipo, a solução geral pode ser escrita como:
Onde $ C $ é um vetor de constantes. Para calcular $ e^{A t} $, utilizamos a série de Taylor ou propriedades de matrizes triangulares. Como $ A $ é triangular e possui valores próprios repetidos, a matriz exponencial $ e^{A t} $ também será triangular e fácil de calcular.
Após calcular $ e^{A t} $, teremos a solução geral homogênea $ X_h(t) $.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular $ X_p(t) $ para o sistema completo:
Vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Onde $ a $, $ b $, e $ c $ são constantes que precisamos determinar. Derivando $ X_p(t) $ e substituindo na equação do sistema, igualamos os coeficientes de $ t e^{t} $ para encontrar os valores de $ a $, $ b $, e $ c $.
Após resolver o sistema de equações resultante, obtemos os valores de $ a $, $ b $, e $ c $, e, portanto, a solução particular $ X_p(t) $.
Passo 5
Finalmente, a solução geral do sistema completo é a soma da solução geral da parte homogênea com a solução particular:
Substituindo $ X_h(t) $ e $ X_p(t) $, teremos a solução geral completa do sistema de equações diferenciais dado.
Resposta
A solução geral do sistema é
onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes que dependem das condições iniciais.