Utilizando coordenadas polares, calcule as seguintes integrais duplas:
(d) integral duplaD raiz1-x^2-y^2 d x d y, sendo D=underset2(x, y) / x^2+y^2 <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD raiz1-x^2-y^2,dx,dy sobre o disco D: x^2+y^2<=1, usando coordenadas polares. Vamos precisar da mudança de variáveis x=rcostheta, y=rsintheta e do jacobiano dx,dy=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares, a região D vira 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi. A integral passa a ser
integral0^2piintegral0^1raiz1-r^2;r,dr,dtheta

Passo 3

Para a parte radial, fazemos a substituição u=1-r^2, logo du=-2r,dr e r,dr=-tfrac12,du. Quando r=0, u=1; e quando r=1, u=0. Assim:
integral0^1raiz1-r^2;r,dr = integral1^0u^1/2l(-tfrac12r)du = tfrac12integral0^1u^1/2du = tfrac12cdotu^3/23/2|0^1 = 13

Passo 4

Agora a integral angular é trivial:
integral0^2pidtheta = 2pi

Passo 5

Portanto, a integral dupla vale o produto da parte radial por 2pi.

Resposta

2pi3

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