Dada a equação diferencial
y^(5)-16 y^prime=32 x-32
(b) Encontre a solução geral da mesma.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede: temos uma equação diferencial de quinta ordem com coeficientes constantes dada por y^(5) - 16y' = 32x - 32. O conteúdo é resolução de EDOs lineares usando solução homogênea (equa
ção característica) e solução particular pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea, escrevemos a equação característica associada:
r^5 - 16r = 0 ,Longrightarrow, r(r^4 - 16) = 0 Longrightarrow r = 0, pm2, pm2i

Passo 3

Isso gera a solução homogênea
yh(x) = C1 + C2e^2x + C3e^-2x + C4,cos(2x) + C5,sin(2x)

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular para a parte não homogênea 32x - 32. Como o termo é um polinômio de grau 1 e r=0 (constante) já aparece na homogênea, propomos
yp(x) = A x^2 + Bx

Passo 5

Calculamos as derivadas relevantes: yp' = 2Ax + B e yp^(5) = 0. Substituindo em y^(5) - 16y' = 32x - 32 obtemos
-16(2Ax + B) = 32x - 32

Passo 6

Igualando coeficientes de x e termos constantes:
-32A = 32 Rightarrow A = -1,

Passo 7

-16B = -32 Rightarrow B = 2

Passo 8

Logo,
yp(x) = -x^2 + 2x

Passo 9

A solução geral é a soma da homogênea com a particular.

Resposta

y(x) = C1 + C2e^2x + C3e^-2x + C4cos(2x) + C5sin(2x) - x^2 + 2x.

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