Determine a matriz inversa, se tiver
Note que uma matriz é inversível se, e somente se, o determinante é diferente de zero.
Para matriz quadrada de ordem 2, a matriz inversa de \left|\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right| é dada por \frac{1}{|A|}\left|\begin{array}{cc}d & -b \\\\ -c & a\end{array}\right|
\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 1 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a matriz inversa, se existir, da matriz
\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
As informações relevantes dadas são apenas os elementos da matriz: a=1, b=2, c=1, d=3. A tarefa é: verificar se A é invertível e, se for, calcular A^{-1}.]

Passo 2

Critério de invertibilidade (o que é o determinante e por que importa).
  • Para uma matriz quadrada 2\times2 com entradas a,b,c,d, o determinante é \det(A)=ad-bc.
  • Intuição curta e útil: \det(A) mede o fator de escala (área) que a transformação linear associada a A aplica. Se \det(A)=0, a transformação “aplana” o plano e não há inversa; se \det(A)\neq0, existe inversa.
    Vamos calcular o determinante de A:
\det(A)=1\cdot 3 - 2\cdot 1.

Passo 3

Cálculo numérico do determinante:
\det(A)=3-2=1.
Como \det(A)=1\neq 0, concluímos que A é invertível (tem inversa).

Passo 4

Fórmula prática para a inversa de 2\times2 e por que ela funciona (explicação passo a passo).
  • Há uma fórmula direta: para A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} com \det(A)\neq0,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
  • Razão curta: essa matriz interior é a adjunta (ou adjugata) de A. Pode-se obter resolvendo as quatro equações que vêm de A\cdot X=I para as incógnitas da matriz X, ou vendo que multiplicando A por essa adjunta dá \det(A)\,I. Para 2\times2 isso resulta na operação “trocar a com d” e “mudar o sinal de b e c”.]

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Já temos \det(A)=1.
  • A adjunta de A é
\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Dividindo pela determinante (que é 1) para obter a inversa:
A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): multiplicar A por A^{-1} e checar que dá a identidade.
\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 3 + 2\cdot(-1) & 1\cdot(-2)+2\cdot 1\\[6pt] 1\cdot 3 + 3\cdot(-1) & 1\cdot(-2)+3\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Confere: é a matriz identidade, logo o cálculo está correto.]

Resposta

\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -2 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}]

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