Determine a matriz inversa, se tiver
Note que uma matriz é inversível se, e somente se, o determinante é diferente de zero.
Para matriz quadrada de ordem 2, a matriz inversa de \left|\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right| é dada por \frac{1}{|A|}\left|\begin{array}{cc}d & -b \\\\ -c & a\end{array}\right|
\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada de ordem 2
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}
e pede: determinar a matriz inversa, se ela existir. Também foi lembrado que a matriz é inversível se, e somente se, o determinante for diferente de zero. Neste passo só confirmei o que foi dado e o que é pedido.]

Passo 2

Lembrete útil (fórmula e o que significa cada coisa).
  • Para uma matriz 2\times2 genérica
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
a fórmula da inversa (quando existe) é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
  • Aqui \det(A) é o determinante da matriz A, calculado por
\det(A)=ad-bc.
  • Explicando em palavras: a fórmula troca as posições de a e d, muda de sinal b e c, e divide toda a matriz resultante pelo determinante. Se \det(A)=0 a divisão não é possível e a matriz não tem inversa.]

Passo 3

Aplicar a fórmula do determinante à matriz dada. Substituindo a=1, b=3, c=2, d=5, temos
\det(A)=a d - b c = 1\cdot5 - 3\cdot2 = 5 - 6 = -1.
Como \det(A)=-1\neq0, a matriz é inversível — boa notícia!

Passo 4

Calcular a matriz adjunta (aquela que aparece no numerador da fórmula). Troque a por d, d por a, e mude o sinal de b e c:
\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & -3 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Dividir a matriz adjunta pelo determinante \det(A)=-1. Ou seja,
A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}5 & -3 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 & 3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Explicando: multiplicar por 1/(-1) troca o sinal de cada entrada da matriz adjunta.]

Passo 6

Verificação rápida (para você saber aplicar na prova): multiplicar A pela matriz encontrada deve dar a matriz identidade.
Calcule A\cdot A^{-1}:
\begin{pmatrix}1 & 3 \\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-5 & 3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-5)+3\cdot2 & 1\cdot3+3\cdot(-1) \\[6pt] 2\cdot(-5)+5\cdot2 & 2\cdot3+5\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5+6 & 3-3 \\[4pt] -10+10 & 6-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como o produto é a identidade, a inversa está correta.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}-5 & 3 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}]

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