Determine a matriz inversa, se tiver
Note que uma matriz é inversível se, e somente se, o determinante é diferente de zero.
Para matriz quadrada de ordem 2, a matriz inversa de \left|\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right| é dada por \frac{1}{|A|}\left|\begin{array}{cc}d & -b \\\\ -c & a\end{array}\right|
\left(\begin{array}{ll}8 & 5 \\\\ 3 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a matriz inversa, se existir, da matriz dada. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}8 & 5 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}.
Portanto a tarefa é: encontrar A^{-1} caso A seja invertível (ou seja, caso o determinante de A seja diferente de zero).]

Passo 2

Para começar, preciso calcular o determinante de uma matriz 2\times2. A fórmula do determinante para
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
é
\det = ad - bc.
Aqui, usando os elementos da matriz A (peguei os números da matriz dada),
a=8,\quad b=5,\quad c=3,\quad d=2.
Logo o determinante é
\det(A)=8\cdot 2 - 5\cdot 3.
Calculemos passo a passo:
8\cdot 2 = 16,\qquad 5\cdot 3 = 15,
\det(A)=16-15=1.
Como \det(A)=1\neq 0, a matriz A é invertível — temos, portanto, uma inversa bem definida.]

Passo 3

Agora a fórmula prática (e muito usada) para a inversa de uma 2\times2 é:
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicando rapidamente por que isso funciona: a matriz \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix} é a adjunta (adjugate) da matriz original; multiplicando-a pela original obtém-se
\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ad-bc & 0 \\[4pt] 0 & ad-bc\end{pmatrix} = (ad-bc)I,
ou seja, ao dividir por ad-bc obtemos exatamente a identidade, o que prova que a fórmula dá a inversa.]

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: já temos ad-bc=\det(A)=1. A adjunta de A é
\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] -3 & 8\end{pmatrix}.
Como o determinante vale 1, a inversa é simplesmente essa adjunta multiplicada por 1:
A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] -3 & 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] -3 & 8\end{pmatrix}.]

Passo 5

Vale a pena verificar multiplicando A por A^{-1} para confirmar que dá a identidade. Calculemos
\begin{pmatrix}8 & 5 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] -3 & 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\cdot 2 + 5\cdot(-3) & 8\cdot(-5) + 5\cdot 8 \\[6pt] 3\cdot 2 + 2\cdot(-3) & 3\cdot(-5) + 2\cdot 8 \end{pmatrix}.
Calculando cada entrada:
8\cdot 2 + 5\cdot(-3)=16-15=1,
8\cdot(-5) + 5\cdot 8 = -40+40=0,
3\cdot 2 + 2\cdot(-3)=6-6=0,
3\cdot(-5) + 2\cdot 8 = -15+16=1.
Portanto
A A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I,
confirmando que a matriz encontrada é de fato a inversa.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -5 \\[4pt] -3 & 8\end{pmatrix}]

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