Note que uma matriz é inversível se, e somente se, o determinante é diferente de zero.
Para matriz quadrada de ordem 2, a matriz inversa de \left|\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right| é dada por \frac{1}{|A|}\left|\begin{array}{cc}d & -b \\\\ -c & a\end{array}\right| \left(\begin{array}{ll}8 & 5 \\\\ 3 & 2\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a matriz inversa, se existir, da matriz dada. A matriz fornecida é
Portanto a tarefa é: encontrar A^{-1} caso A seja invertível (ou seja, caso o determinante de A seja diferente de zero).]
Passo 2
Para começar, preciso calcular o determinante de uma matriz 2\times2. A fórmula do determinante para
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
é
\det = ad - bc.
Aqui, usando os elementos da matriz A (peguei os números da matriz dada),
a=8,\quad b=5,\quad c=3,\quad d=2.
Logo o determinante é
\det(A)=8\cdot 2 - 5\cdot 3.
Calculemos passo a passo:
8\cdot 2 = 16,\qquad 5\cdot 3 = 15,
\det(A)=16-15=1.
Como \det(A)=1\neq 0, a matriz A é invertível — temos, portanto, uma inversa bem definida.]
Passo 3
Agora a fórmula prática (e muito usada) para a inversa de uma 2\times2 é:
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicando rapidamente por que isso funciona: a matriz \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix} é a adjunta (adjugate) da matriz original; multiplicando-a pela original obtém-se