1.42 Sejam
e
duas matrizes dadas. Então:
a)
estiver definida, então
e
devem ser matrizes quadradas de mesma ordem.
b) Se a primeira linha da matriz
tiver todos os elementos iguais a zero, e se
estiver definida, então o produto
terá todos os elementos da primeira linha iguais a zero.
c) Se a primeira coluna da matriz
tiver todos os elementos iguais a zero, e se
estiver definida, então o produto
terá todos os elementos da primeira coluna iguais a zero.
d) Se
e
são matrizes de ordem
,
é inversível e
, então
.
a)
b) Se a primeira linha da matriz
c) Se a primeira coluna da matriz
d) Se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que temos:
- Temos duas matrizes
e (não são dadas dimensões específicas no enunciado). - O enunciado apresenta quatro afirmações para analisar se são verdadeiras ou falsas:
(a) Seestiver definida, então e devem ser matrizes quadradas de mesma ordem.
(b) Se a primeira linha da matriztiver todos os elementos iguais a zero, e se estiver definida, então o produto terá todos os elementos da primeira linha iguais a zero.
(c) Se a primeira coluna da matriztiver todos os elementos iguais a zero, e se estiver definida, então o produto terá todos os elementos da primeira coluna iguais a zero.
(d) See são matrizes de ordem , é inversível e (matriz zero), então .
A tarefa: para cada item determinar se é verdadeiro ou falso e justificar detalhadamente.
Passo 2
Relembrando regras essenciais sobre dimensões e produto de matrizes (isso vai aparecer em todos os itens):
- Se
tem dimensão e tem dimensão , então o produto está definido e tem dimensão . - A entrada
do produto é dada por
onde
é a entrada
de
e
é a entrada
de
.
- Para fazer uma soma
de matrizes é necessário que e tenham exatamente a mesma dimensão.
Vou usar essas regras passo a passo em cada item.
Passo 3
Analisar a afirmação: “Se
estiver definida, então
e
devem ser matrizes quadradas de mesma ordem.”
Sejam
de dimensão
e
de dimensão
. Para que
esteja definido é necessário
e então
tem dimensão
.
Para que
esteja definido é necessário
e então
tem dimensão
.
Como
está definido, ambos
e
existem e têm a mesma dimensão. Substituindo
e
encontramos:
-
tem dimensão . -
tem dimensão .
Para que essas duas dimensões coincidam é necessário ter
. Assim
e, com
e
, obtemos
. Portanto
e
têm dimensão
para algum
— isto é, são matrizes quadradas da mesma ordem.
Conclusão: a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação: “Se a primeira linha da matriz
tiver todos os elementos iguais a zero, e se
estiver definida, então o produto
terá todos os elementos da primeira linha iguais a zero.”
Seja
de dimensão
e
de dimensão
, com
definido. Denote por
os elementos da primeira linha de
. A hipótese diz que
A entrada
de
é
Como cada
, cada termo do somatório é zero, logo
para todo
. Isso diz exatamente que a primeira linha de
é toda zero.
Podemos ilustrar com um exemplo concreto (2×2): seja
Então
a primeira linha é zero.
Conclusão: a afirmação (b) é verdadeira.
Passo 5
Afirmação: “Se a primeira coluna da matriz
tiver todos os elementos iguais a zero, e se
estiver definida, então o produto
terá todos os elementos da primeira coluna iguais a zero.”
Novamente,
é
e
é
. A hipótese diz que a primeira coluna de
é zero, ou seja
Queremos ver se a primeira coluna de
(entradas
) é necessariamente toda zero. A entrada
de
é
A condição
apenas anula o termo com
no somatório; os outros termos com
permanecem e podem ser não nulos. Logo não é garantido que
para todo
. Ou seja, a primeira coluna de
pode ser não nula.
Para fixar a ideia, um contraexemplo simples (2×2):
Escolha
A primeira coluna de
é
. Mas
A primeira coluna de
é
, não nula. Portanto a afirmação é falsa.
Conclusão: a afirmação (c) é falsa (contraexemplo mostrado).]
Passo 6
Afirmação: “Se
e
são matrizes de ordem
,
é inversível e
, então
.”
Aqui
e
são
,
possui inversa
, e
denota a matriz zero
. Partindo de
, multiplica-se à esquerda por
. Usando associatividade do produto e
(matriz identidade), obtemos:
Como
e multiplicar a matriz zero por qualquer matriz dá a matriz zero, segue que
. Assim
Tudo legal porque
existe e as dimensões batem. Portanto
deve ser a matriz zero.
Conclusão: a afirmação (d) é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira