1.42 Sejam A e B duas matrizes dadas. Então:
a) S e A B+B A estiver definida, então A e B devem ser matrizes quadradas de mesma ordem.
b) Se a primeira linha da matriz A tiver todos os elementos iguais a zero, e se A B estiver definida, então o produto A B terá todos os elementos da primeira linha iguais a zero.
c) Se a primeira coluna da matriz A tiver todos os elementos iguais a zero, e se A B estiver definida, então o produto A B terá todos os elementos da primeira coluna iguais a zero.
d) Se A e B são matrizes de ordem n, A é inversível e A B=\Theta, então B=\Theta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que temos:
  • Temos duas matrizes A e B (não são dadas dimensões específicas no enunciado).
  • O enunciado apresenta quatro afirmações para analisar se são verdadeiras ou falsas:
    (a) Se A B + B A estiver definida, então A e B devem ser matrizes quadradas de mesma ordem.
    (b) Se a primeira linha da matriz A tiver todos os elementos iguais a zero, e se A B estiver definida, então o produto A B terá todos os elementos da primeira linha iguais a zero.
    (c) Se a primeira coluna da matriz A tiver todos os elementos iguais a zero, e se A B estiver definida, então o produto A B terá todos os elementos da primeira coluna iguais a zero.
    (d) Se A e B são matrizes de ordem n, A é inversível e A B=\Theta (matriz zero), então B=\Theta.
A tarefa: para cada item determinar se é verdadeiro ou falso e justificar detalhadamente.

Passo 2

Relembrando regras essenciais sobre dimensões e produto de matrizes (isso vai aparecer em todos os itens):
  • Se A tem dimensão m\times p e B tem dimensão p\times n, então o produto A B está definido e tem dimensão m\times n.
  • A entrada (i,j) do produto A B é dada por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{p} a_{ik}\,b_{kj},
onde a_{ik} é a entrada (i,k) de A e b_{kj} é a entrada (k,j) de B.
  • Para fazer uma soma X+Y de matrizes é necessário que X e Y tenham exatamente a mesma dimensão.
Vou usar essas regras passo a passo em cada item.

Passo 3

Analisar a afirmação: “Se A B + B A estiver definida, então A e B devem ser matrizes quadradas de mesma ordem.”
Sejam A de dimensão r\times s e B de dimensão t\times u. Para que A B esteja definido é necessário
s=t,
e então A B tem dimensão r\times u.
Para que B A esteja definido é necessário
u=r,
e então B A tem dimensão t\times s.
Como A B+B A está definido, ambos AB e BA existem e têm a mesma dimensão. Substituindo s=t e u=r encontramos:
  • AB tem dimensão r\times r.
  • BA tem dimensão s\times s.
Para que essas duas dimensões coincidam é necessário ter r=s. Assim r=s e, com s=t e u=r, obtemos r=s=t=u. Portanto A e B têm dimensão n\times n para algum n — isto é, são matrizes quadradas da mesma ordem.
Conclusão: a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação: “Se a primeira linha da matriz A tiver todos os elementos iguais a zero, e se A B estiver definida, então o produto A B terá todos os elementos da primeira linha iguais a zero.”
Seja A de dimensão m\times p e B de dimensão p\times n, com AB definido. Denote por a_{1k} os elementos da primeira linha de A. A hipótese diz que
a_{1k}=0\quad\text{para todo }k=1,\dots,p.
A entrada (1,j) de AB é
(AB)_{1j}=\sum_{k=1}^{p} a_{1k}\,b_{kj}.
Como cada a_{1k}=0, cada termo do somatório é zero, logo (AB)_{1j}=0 para todo j=1,\dots,n. Isso diz exatamente que a primeira linha de AB é toda zero.
Podemos ilustrar com um exemplo concreto (2×2): seja
A=\begin{pmatrix}0 & 0\\\ a & b\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}x & y\\\ z & w\end{pmatrix}.
Então
AB=\begin{pmatrix}0\cdot x+0\cdot z & 0\cdot y+0\cdot w\\\ a x + b z & a y + b w\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\\ a x + b z & a y + b w\end{pmatrix},
a primeira linha é zero.
Conclusão: a afirmação (b) é verdadeira.

Passo 5

Afirmação: “Se a primeira coluna da matriz A tiver todos os elementos iguais a zero, e se A B estiver definida, então o produto A B terá todos os elementos da primeira coluna iguais a zero.”
Novamente, A é m\times p e B é p\times n. A hipótese diz que a primeira coluna de A é zero, ou seja
a_{i1}=0\quad\text{para todo }i=1,\dots,m.
Queremos ver se a primeira coluna de AB (entradas (i,1)) é necessariamente toda zero. A entrada (i,1) de AB é
(AB)_{i1}=\sum_{k=1}^{p} a_{ik}\,b_{k1}.
A condição a_{i1}=0 apenas anula o termo com k=1 no somatório; os outros termos com k=2,\dots,p permanecem e podem ser não nulos. Logo não é garantido que (AB)_{i1}=0 para todo i. Ou seja, a primeira coluna de AB pode ser não nula.
Para fixar a ideia, um contraexemplo simples (2×2):
Escolha
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
A primeira coluna de A é \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}. Mas
AB=\begin{pmatrix}0\cdot 0 + 1\cdot 1 & 0\cdot 0 + 1\cdot 0\\[4pt] 0\cdot 0 + 0\cdot 1 & 0\cdot 0 + 0\cdot 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
A primeira coluna de AB é \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, não nula. Portanto a afirmação é falsa.
Conclusão: a afirmação (c) é falsa (contraexemplo mostrado).]

Passo 6

Afirmação: “Se A e B são matrizes de ordem n, A é inversível e A B=\Theta, então B=\Theta.”
Aqui A e B são n\times n, A possui inversa A^{-1}, e \Theta denota a matriz zero n\times n. Partindo de A B=\Theta, multiplica-se à esquerda por A^{-1}. Usando associatividade do produto e A^{-1}A=I (matriz identidade), obtemos:
A^{-1}(AB)=(A^{-1}A)B \quad\Rightarrow\quad (A^{-1}A)B=I B.
Como A^{-1}(AB)=A^{-1}\Theta e multiplicar a matriz zero por qualquer matriz dá a matriz zero, segue que A^{-1}\Theta=\Theta. Assim
IB=\Theta\quad\Rightarrow\quad B=\Theta.
Tudo legal porque A^{-1} existe e as dimensões batem. Portanto B deve ser a matriz zero.
Conclusão: a afirmação (d) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Verdadeira

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