Determine a matriz inversa, se tiver
Note que uma matriz é inversível se, e somente se, o determinante é diferente de zero. Para matriz quadrada de ordem 2, a matriz inversa de \left|\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right| é dada por \frac{1}{|A|}\left|\begin{array}{cc}d & -b \\\\ -c & a\end{array}\right|
\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 0 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a matriz inversa, se existir, da matriz
A=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\[4pt] 0 & 2\end{array}\right).
Informações dadas:
  • A matriz é quadrada de ordem 2.
  • Queremos encontrar A^{-1} caso \det(A)\neq0.
    As perguntas explícitas são: (1) a matriz é inversível? (2) se for, qual é A^{-1}?]

Passo 2

Definir o determinante para matriz 2\times2 e calcular o determinante de A.
Para uma matriz genérica
\left(\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right)
o determinante é dado por \det=\;ad-bc. Aqui identificamos os elementos da nossa matriz:
a=1,\qquad b=3,\qquad c=0,\qquad d=2.
Calculemos então
\det(A)=a d - b c = 1\cdot 2 - 3\cdot 0 = 2.
Como \det(A)=2\neq0, concluímos que A é inversível (ou seja, a inversa existe).]

Passo 3

Apresentar a fórmula da inversa para matrizes 2\times2 e explicar o porquê de forma breve e didática.
Fórmula padrão: para
A=\left(\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right),
a inversa, quando existe, é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\left(\begin{array}{cc}d & -b \\[4pt] -c & a\end{array}\right).
Curto lembrete didático: a matriz à direita é a adjunta/adjugate (obtida trocando a e d e trocando o sinal de b e c); multiplicando A por essa adjunta obtém-se \det(A)\,I, o que garante que dividir por \det(A) dá a inversa.]

Passo 4

Aplicar a fórmula ao nosso caso, calculando a matriz adjunta (antes de multiplicar por 1/\det(A)).
Substituindo a=1,b=3,c=0,d=2 na matriz adjunta obtemos
\operatorname{adj}(A)=\left(\begin{array}{cc}d & -b \\[4pt] -c & a\end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc}2 & -3 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right).
Pela fórmula,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2 & -3 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right).]

Passo 5

Verificação rápida da consistência (ajuda a ganhar confiança para a prova): mostrar que A\cdot\operatorname{adj}(A)=\det(A)\,I.
Calculemos o produto
A\cdot\operatorname{adj}(A) =\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\[4pt] 0 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}2 & -3 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right).
Multiplicando:
  • entrada (1,1): 1\cdot 2 + 3\cdot 0 = 2,
  • entrada (1,2): 1\cdot(-3) + 3\cdot 1 = -3 + 3 = 0,
  • entrada (2,1): 0\cdot 2 + 2\cdot 0 = 0,
  • entrada (2,2): 0\cdot(-3) + 2\cdot 1 = 2.
Logo
A\cdot\operatorname{adj}(A)=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{array}\right)=2\;I=\det(A)\,I,
o que confirma que dividir a adjunta por \det(A)=2 realmente produz a inversa.]

Resposta

A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1 & -\tfrac{3}{2} \\[6pt] 0 & \tfrac{1}{2}\end{array}\right)]

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