Determine a matriz inversa, se tiver
Note que uma matriz é inversível se, e somente se, o determinante é diferente de zero. Para matriz quadrada de ordem 2, a matriz inversa de \left|\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right| é dada por \frac{1}{|A|}\left|\begin{array}{cc}d & -b \\\\ -c & a\end{array}\right|
\left(\begin{array}{ll}4 & 6 \\\\ 2 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada de ordem 2
A=\begin{pmatrix}4 & 6 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}
e pede para determinar a matriz inversa, se existir. Também foi fornecida a fórmula padrão para inversa de matrizes 2\times2:
A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
onde, para uma matriz \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, o determinante é
|A|=ad-bc.
Portanto, as informações relevantes que temos são: os elementos a=4, b=6, c=2, d=3 e a regra de que a inversa só existe se |A|\neq 0.]

Passo 2

Calcular o determinante passo a passo usando a fórmula |A|=ad-bc. Substituindo os valores:
|A| = (4)(3) - (6)(2).
Agora calcular cada produto:
(4)(3)=12,\qquad (6)(2)=12,
então
|A| = 12 - 12 = 0.
Explicando: o determinante de uma matriz 2\times2 é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária; aqui esses dois produtos são iguais, daí o determinante ser zero.

Passo 3

Interpretar o significado de |A|=0 e por que isso impede a existência da inversa. Pela fórmula da inversa A^{-1}=\dfrac{1}{|A|} vezes a matriz adjunta, verifique que se |A|=0 então implicaria dividir por zero — isto é proibido e sem sentido. Portanto, quando |A|=0 a matriz não tem inversa.
Também é útil perceber a razão linear/geométrica: se as colunas (ou linhas) da matriz são proporcionais, as colunas não são linearmente independentes e o determinante é zero. No nosso caso, as colunas de A são
\text{col}_1=\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2=\begin{pmatrix}6\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Observa-se que \text{col}_2 = \tfrac{3}{2}\,\text{col}_1, pois \tfrac{3}{2}\cdot(4,2)=(6,3). Colunas proporcionais significam dependência linear, o que dá |A|=0 e portanto nenhuma inversa existe.]

Passo 4

Para deixar explícito o que ocorreria se tentássemos aplicar a fórmula da inversa: a matriz “adjunta” (aquela que aparece no numerador da fórmula) seria
\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -6 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix}.
A inversa formal seria \dfrac{1}{|A|} vezes essa matriz, isto é
A^{-1}=\frac{1}{0}\begin{pmatrix}3 & -6 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix},
o que é impossível porque a divisão por zero não está definida. Logo não existe A^{-1}.]

Passo 5

Dica prática para a prova: antes de tentar calcular uma inversa de 2\times2, calcule rapidamente |A|=ad-bc. Se der zero, pare — a inversa não existe e você economiza tempo. Outra verificação rápida é checar se uma linha ou coluna é múltipla de outra (se for, a matriz não é invertível).

Resposta

\text{A matriz não é invertível (}\det A = 0\text{).}ãéí

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