Resolva os sistemas lineares usando escalonamento.
\left{ \begin{aligned} x+y+2 z & =4 \\ 2 x+3 y+6 z & =10 \\ 3 x+6 y+10 z & =17\end{aligned}\right.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais informações temos. O enunciado pede para resolver o sistema linear usando escalonamento. O sistema é:
\begin{cases} x + y + 2z = 4\\[4pt] 2x + 3y + 6z = 10\\[4pt] 3x + 6y + 10z = 17 \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Há três equações lineares com três incógnitas x,y,z.
  • O objetivo é encontrar os valores de x,y,z que satisfazem todas as equações simultaneamente.
  • Vamos aplicar escalonamento (eliminação por operações elementares em linhas) para reduzir a matriz aumentada e então usar substituição regressiva.]

Passo 2

Primeiro representamos o sistema pela matriz aumentada. Isso facilita aplicar operações de linha de modo mecânico. A matriz aumentada (A|b) é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 2 & 3 & 6 & 10\\[4pt] 3 & 6 & 10 & 17 \end{array}\right]
Explicação rápida: cada linha da matriz corresponde a uma equação; as colunas correspondem às coeficientes de x,y,z e a última coluna é o termo independente.]

Passo 3

Agora escolhemos um pivô na primeira coluna (o elemento \,1 da primeira linha) e eliminamos os elementos abaixo dele usando operações de linha. Operações elementares permitidas:
  • trocar duas linhas,
  • multiplicar uma linha por escalar não nulo,
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Aplicamos:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Calculemos cada linha resultante:
Para R_2:
\begin{aligned} 2-2\cdot1 &= 0,\\[2pt] 3-2\cdot1 &= 1,\\[2pt] 6-2\cdot2 &= 2,\\[2pt] 10-2\cdot4 &= 2. \end{aligned}
Para R_3:
\begin{aligned} 3-3\cdot1 &= 0,\\[2pt] 6-3\cdot1 &= 3,\\[2pt] 10-3\cdot2 &= 4,\\[2pt] 17-3\cdot4 &= 5. \end{aligned}
A matriz após essas operações é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 3 & 4 & 5 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora usamos o pivô na segunda linha, segunda coluna (que é \,1) para eliminar o elemento abaixo dele na coluna 2. Aplicamos:
R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2.
Calculemos a nova terceira linha:
\begin{aligned} 0-3\cdot0 &= 0,\\[2pt] 3-3\cdot1 &= 0,\\[2pt] 4-3\cdot2 &= 4-6 = -2,\\[2pt] 5-3\cdot2 &= 5-6 = -1. \end{aligned}
A matriz escalonada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & -1 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora a terceira linha dá uma equação simples envolvendo apenas z. Escrevendo a terceira equação correspondente:
-2z = -1.
Isto vem diretamente da terceira linha da matriz: coeficiente de z é -2 e termo independente é -1.

Passo 6

Resolve-se a terceira equação isolando z. Dividindo ambos os lados por -2:
z = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}.
Então já temos z=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Agora fazemos substituição regressiva para encontrar y e x.
Segunda equação (da matriz escalonada) corresponde a:
y + 2z = 2.
Substituindo z=\tfrac{1}{2}:
y + 2\cdot\dfrac{1}{2} = 2.
Calcule:
y + 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad y = 1.

Passo 8

Primeira equação original:
x + y + 2z = 4.
Substituindo y=1 e z=\tfrac{1}{2}:
x + 1 + 2\cdot\dfrac{1}{2} = 4.
Como 2\cdot\dfrac{1}{2}=1, temos:
x + 1 + 1 = 4 \quad\Rightarrow\quad x + 2 = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 2.

Passo 9

Verificação rápida (boa prática): substituir (x,y,z)=(2,1,\tfrac{1}{2}) nas três equações originais.
Primeira:
2 + 1 + 2\cdot\dfrac{1}{2} = 2+1+1 = 4 \quad\checkmark
Segunda:
2\cdot2 + 3\cdot1 + 6\cdot\dfrac{1}{2} = 4 + 3 + 3 = 10 \quad\checkmark
Terceira:
3\cdot2 + 6\cdot1 + 10\cdot\dfrac{1}{2} = 6 + 6 + 5 = 17 \quad\checkmark
Tudo confere.

Resposta

x=2
y=1
z=\tfrac{1}{2}

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