Seja V=\mathbb{R}^{3} \mathrm{e}<\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)>=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}. Mostre que essa função é um produto interno e que o conjunto B=\left\{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right),\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right),\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right\} é uma base ortonormal com relação ao produto interno definido.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^3 e a função
\langle (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\rangle = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.
Pede duas coisas:
  • Mostrar que essa função é um produto interno (ou seja, verificar as propriedades necessárias).
  • Mostrar que o conjunto
B=\left\{\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\right),\left(\tfrac{1}{\sqrt{6}},-\tfrac{1}{\sqrt{6}},\tfrac{2}{\sqrt{6}}\right),\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{3},\tfrac{\sqrt{3}}{3},\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\right\}
é uma base ortonormal relativa a esse produto interno.
Vou primeiro recordar o que precisa ser verificado para algo ser um produto interno real e depois checar cada propriedade passo a passo. Depois trato do conjunto B: verificar que os vetores têm norma 1, são mutuamente ortogonais e que formam uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Relembrando a definição: numa \mathbb{R}-álgebra (espaço vetorial real), uma função \langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{R} é um produto interno se satisfaz:
  1. Simetria: \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle para todo u,v\in V.
  2. Linearidade em cada argumento (no caso real basta provar linearidade em um dos argumentos e simetria): para u,w,v\in V e \alpha\in\mathbb{R}, \langle u+w,v\rangle=\langle u,v\rangle+\langle w,v\rangle,\qquad \langle \alpha u,v\rangle=\alpha\langle u,v\rangle.
  3. Positividade definida: para todo v\in V, \langle v,v\rangle\ge 0 e \langle v,v\rangle=0 se e só se v=0.
Vou verificar cada uma para a função dada.

Passo 3

Verificação da simetria.
Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Pela definição,
\langle u,v\rangle = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.
Trocar u por v e v por u
\langle v,u\rangle = x_2x_1+y_2y_1+z_2z_1.
Como a multiplicação real é comutativa, x_1x_2=x_2x_1 etc., segue que
\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.
Logo a simetria vale.

Passo 4

Verificação da linearidade (em um argumento).
Mostro a aditividade e homogeneidade em relação ao primeiro argumento; por simetria isso basta.
Sejam u=(x_1,y_1,z_1), w=(x'_1,y'_1,z'_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
u+w=(x_1+x'_1,\;y_1+y'_1,\;z_1+z'_1).
Aplicando a definição:
\langle u+w,v\rangle = (x_1+x'_1)x_2+(y_1+y'_1)y_2+(z_1+z'_1)z_2.
Distribuindo a soma:
\langle u+w,v\rangle = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 + x'_1x_2+y'_1y_2+z'_1z_2 = \langle u,v\rangle + \langle w,v\rangle.
Para homogeneidade: se \alpha\in\mathbb{R},
\langle \alpha u,v\rangle = (\alpha x_1)x_2+(\alpha y_1)y_2+(\alpha z_1)z_2 = \alpha(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)=\alpha\langle u,v\rangle.
Portanto a linearidade em um argumento vale; combinada com a simetria temos bilinearidade.

Passo 5

Verificação da positividade definida.
Para v=(x,y,z) temos
\langle v,v\rangle = x^2+y^2+z^2.
Essa soma de quadrados é sempre \ge 0. Além disso, x^2+y^2+z^2=0 ocorre exatamente quando x=0, y=0 e z=0, ou seja, quando v=0. Logo \langle v,v\rangle>0 para todo v\neq 0. Assim a propriedade de positividade definida é satisfeita.

Passo 6

Conclusão parcial sobre o produto interno.
Das verificações dos passos anteriores segue que a função dada é simétrica, bilinear e positiva definida; portanto é um produto interno em \mathbb{R}^3. (Isto corresponde ao produto escalar usual.)
Agora vamos ao conjunto B. Para facilitar os cálculos, escrevo os vetores com notação curta:
v_1=\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}},0\right),\qquad v_2=\left(\tfrac{1}{\sqrt{6}},-\tfrac{1}{\sqrt{6}},\tfrac{2}{\sqrt{6}}\right),\qquad v_3=\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{3},\tfrac{\sqrt{3}}{3},\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right).
Observação útil: \tfrac{\sqrt{3}}{3}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}, então v_3=\big(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\big).

Passo 7

Verificar que cada vetor tem norma 1 (vetores unitários).
Calculo \langle v_1,v_1\rangle:
\langle v_1,v_1\rangle = \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+0^2 = \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+0=1.
Calculo \langle v_2,v_2\rangle:
\langle v_2,v_2\rangle = \left(\tfrac{1}{\sqrt{6}}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{\sqrt{6}}\right)^2+\left(\tfrac{2}{\sqrt{6}}\right)^2 = \tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{4}{6}=\tfrac{6}{6}=1.
Calculo \langle v_3,v_3\rangle (usando \tfrac{\sqrt{3}}{3}=\tfrac{1}{\sqrt{3}}):
\langle v_3,v_3\rangle = \left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}=1.
Portanto todos têm norma 1.

Passo 8

Verificar que são mutuamente ortogonais (produto escalar zero entre diferentes vetores).
Calculo \langle v_1,v_2\rangle:
\langle v_1,v_2\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{6}} + \tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(-\tfrac{1}{\sqrt{6}}\right) + 0\cdot\tfrac{2}{\sqrt{6}} = \tfrac{1}{\sqrt{12}} - \tfrac{1}{\sqrt{12}} + 0 = 0.
Calculo \langle v_1,v_3\rangle:
\langle v_1,v_3\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right) + \tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}} + 0\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}} = -\tfrac{1}{\sqrt{6}} + \tfrac{1}{\sqrt{6}} + 0 = 0.
Calculo \langle v_2,v_3\rangle:
\langle v_2,v_3\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{6}}\cdot\left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right) + \left(-\tfrac{1}{\sqrt{6}}\right)\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}} + \tfrac{2}{\sqrt{6}}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}}.
Fatorando 1/(\sqrt{6}\sqrt{3})=1/\sqrt{18} obtemos numerador -1-1+2=0, logo \langle v_2,v_3\rangle=0.
Portanto v_1,v_2,v_3 são mutuamente ortogonais e, como mostrados antes, cada um tem norma 1. Logo B é um conjunto ortonormal.

Passo 9

Mostrar que B é uma base (i.e., gera \mathbb{R}^3 e é linearmente independente).
Argumento rápido e clássico: em \mathbb{R}^3 qualquer conjunto ortonormal de três vetores não-nulos é linearmente independente e, como tem exatamente 3 vetores, gera um subespaço de dimensão 3. Mas a dimensão de \mathbb{R}^3 é 3, então o subespaço gerado é todo \mathbb{R}^3. Portanto B é uma base.
Se quiser uma demonstração direta da independência: suponha \alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0. Fazendo produto escalar com v_j e usando ortonormalidade obtém-se \alpha_j=0 para j=1,2,3. Assim os coeficientes são todos zero, o que prova independência linear; sendo três vetores independentes em \mathbb{R}^3 eles formam uma base.

Resposta

A função dada é um produto interno em \mathbb{R}^3.\nO conjunto B é uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 relativamente a esse produto interno.

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