Seja
. Mostre que essa função é um produto interno e que o conjunto
é uma base ortonormal com relação ao produto interno definido.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e a função
Pede duas coisas:
- Mostrar que essa função é um produto interno (ou seja, verificar as propriedades necessárias).
- Mostrar que o conjunto
é uma base ortonormal relativa a esse produto interno.
Vou primeiro recordar o que precisa ser verificado para algo ser um produto interno real e depois checar cada propriedade passo a passo. Depois trato do conjunto
: verificar que os vetores têm norma
, são mutuamente ortogonais e que formam uma base de
.
Passo 2
Relembrando a definição: numa
-álgebra (espaço vetorial real), uma função
é um produto interno se satisfaz:
- Simetria:
para todo . - Linearidade em cada argumento (no caso real basta provar linearidade em um dos argumentos e simetria): para
e , - Positividade definida: para todo
, e se e só se .
Vou verificar cada uma para a função dada.
Passo 3
Verificação da simetria.
Sejam
e
. Pela definição,
Trocar
por
e
por
dá
Como a multiplicação real é comutativa,
etc., segue que
Logo a simetria vale.
Passo 4
Verificação da linearidade (em um argumento).
Mostro a aditividade e homogeneidade em relação ao primeiro argumento; por simetria isso basta.
Sejam
,
e
. Então
Aplicando a definição:
Distribuindo a soma:
Para homogeneidade: se
,
Portanto a linearidade em um argumento vale; combinada com a simetria temos bilinearidade.
Passo 5
Verificação da positividade definida.
Para
temos
Essa soma de quadrados é sempre
. Além disso,
ocorre exatamente quando
,
e
, ou seja, quando
. Logo
para todo
. Assim a propriedade de positividade definida é satisfeita.
Passo 6
Conclusão parcial sobre o produto interno.
Das verificações dos passos anteriores segue que a função dada é simétrica, bilinear e positiva definida; portanto é um produto interno em
. (Isto corresponde ao produto escalar usual.)
Agora vamos ao conjunto
. Para facilitar os cálculos, escrevo os vetores com notação curta:
Observação útil:
, então
.
Passo 7
Verificar que cada vetor tem norma
(vetores unitários).
Calculo
:
Calculo
:
Calculo
(usando
):
Portanto todos têm norma
.
Passo 8
Verificar que são mutuamente ortogonais (produto escalar zero entre diferentes vetores).
Calculo
:
Calculo
:
Calculo
:
Fatorando
obtemos numerador
, logo
.
Portanto
são mutuamente ortogonais e, como mostrados antes, cada um tem norma
. Logo
é um conjunto ortonormal.
Passo 9
Mostrar que
é uma base (i.e., gera
e é linearmente independente).
Argumento rápido e clássico: em
qualquer conjunto ortonormal de três vetores não-nulos é linearmente independente e, como tem exatamente
vetores, gera um subespaço de dimensão
. Mas a dimensão de
é
, então o subespaço gerado é todo
. Portanto
é uma base.
Se quiser uma demonstração direta da independência: suponha
. Fazendo produto escalar com
e usando ortonormalidade obtém-se
para
. Assim os coeficientes são todos zero, o que prova independência linear; sendo três vetores independentes em
eles formam uma base.
Resposta
A função dada é um produto interno em
.\nO conjunto
é uma base ortonormal de
relativamente a esse produto interno.