Determine a matriz inversa de X=(lll1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1).

Passo 1

O enunciado pede a inversa de uma matriz triangular superior
X= 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1
Conteúdo: inversão de matrizes triangulares. Observação: uma matriz triangular invertível tem inversa triangular do mesmo tipo, e as entradas diagonais da inversa são os recíprocos das da matriz original.

Passo 2

Suponha
Y = X^-1 = 1 & a & b 0 & 1 & c 0 & 0 & 1
Vamos usar a condição de inversa X,Y=I, onde I é a identidade 3times3.

Passo 3

Calculemos o produto
X,Y = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1 1 & a & b 0 & 1 & c 0 & 0 & 1 = 1 & a+2 & b + 2c + 3 0 & 1 & c+4 0 & 0 & 1

Passo 4

Igualando X,Y à identidade, temos as equações
a+2=0, c+4=0, b+2c+3=0
Resolvendo:
a=-2, c=-4, b+2(-4)+3=0implies b=5

Passo 5

Substituindo em Y, obtemos
X^-1 = 1 & -2 & 5 0 & 1 & -4 0 & 0 & 1

Resposta

X^-1 = 1 & -2 & 5 0 & 1 & -4 0 & 0 & 1

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