Determine x, y, z para que a matriz A=\left[\begin{array}{rrr}1 & x & 5 \\\\ 2 & 7 & -4 \\\ y & z & -3\end{array}\right] seja simétrica.
Passo 1
O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & x & 5 \\[4pt] 2 & 7 & -4 \\[4pt] y & z & -3\end{pmatrix}
e pede para determinar x, y e z de modo que a matriz seja simétrica.
As informações relevantes que temos são os elementos da matriz mostrados acima. A pergunta é: quais valores de x, y e z garantem que A seja simétrica?]
Passo 2
O que significa “matriz simétrica”? Uma matriz quadrada A é simétrica quando ela é igual à sua transposta, isto é,
A = A^{T}.
Isso implica, elemento a elemento, que
a_{ij}=a_{ji}\quad\text{para todo }i,j.
Em palavras: os elementos acima da diagonal principal (os chamados elementos “fora da diagonal”) precisam coincidir com os elementos correspondentes espelhados abaixo da diagonal. Os elementos da diagonal (a_{11},a_{22},a_{33}) não impõem condições extras além de já serem iguais a si mesmos.
Passo 3
Vamos identificar os elementos correspondentes da matriz A e escrever as igualdades que a simetria exige.
O elemento na posição (1,2) é a_{12}=x e o elemento simétrico na posição (2,1) é a_{21}=2. A condição a_{12}=a_{21} dá
x=2.
O elemento na posição (1,3) é a_{13}=5 e o elemento simétrico na posição (3,1) é a_{31}=y. A condição a_{13}=a_{31} dá
5=y.
O elemento na posição (2,3) é a_{23}=-4 e o elemento simétrico na posição (3,2) é a_{32}=z. A condição a_{23}=a_{32} dá
-4=z.
Passo 4
Resolvendo as igualdades encontradas obtemos diretamente os valores de x, y e z:
x=2,\quad y=5,\quad z=-4.
Uma checagem rápida: substituindo esses valores em A resulta na matriz