Determine x, y, z para que a matriz
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & x & 5 \\\\ 2 & 7 & -4 \\\ y & z & -3\end{array}\right] seja simétrica.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & x & 5 \\[4pt] 2 & 7 & -4 \\[4pt] y & z & -3\end{pmatrix}
e pede para determinar x, y e z de modo que a matriz seja simétrica.
As informações relevantes que temos são os elementos da matriz mostrados acima. A pergunta é: quais valores de x, y e z garantem que A seja simétrica?]

Passo 2

O que significa “matriz simétrica”? Uma matriz quadrada A é simétrica quando ela é igual à sua transposta, isto é,
A = A^{T}.
Isso implica, elemento a elemento, que
a_{ij}=a_{ji}\quad\text{para todo }i,j.
Em palavras: os elementos acima da diagonal principal (os chamados elementos “fora da diagonal”) precisam coincidir com os elementos correspondentes espelhados abaixo da diagonal. Os elementos da diagonal ( a_{11},a_{22},a_{33}) não impõem condições extras além de já serem iguais a si mesmos.

Passo 3

Vamos identificar os elementos correspondentes da matriz A e escrever as igualdades que a simetria exige.
  • O elemento na posição (1,2) é a_{12}=x e o elemento simétrico na posição (2,1) é a_{21}=2. A condição a_{12}=a_{21}
x=2.
  • O elemento na posição (1,3) é a_{13}=5 e o elemento simétrico na posição (3,1) é a_{31}=y. A condição a_{13}=a_{31}
5=y.
  • O elemento na posição (2,3) é a_{23}=-4 e o elemento simétrico na posição (3,2) é a_{32}=z. A condição a_{23}=a_{32}
-4=z.

Passo 4

Resolvendo as igualdades encontradas obtemos diretamente os valores de x, y e z:
x=2,\quad y=5,\quad z=-4.
Uma checagem rápida: substituindo esses valores em A resulta na matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \\[4pt] 2 & 7 & -4 \\[4pt] 5 & -4 & -3\end{pmatrix},
que é igual à sua transposta, portanto é de fato simétrica.]

Resposta

x=2
y=5
z=-4

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