. Sendo \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{rr}2 & -1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right] e \mathrm{A}^{\mathrm{t}} a matriz transposta de A , determine o valor de \mathrm{A}^{\mathrm{t}} \cdot \mathrm{B}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\[4pt] 0 & -1 & 2\end{pmatrix},\qquad \mathrm{B}=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
e pede para determinar \mathrm{A}^{\mathrm{t}}\cdot\mathrm{B}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \mathrm{A} é uma matriz de dimensão 2\times3 (2 linhas e 3 colunas).
  • \mathrm{B} é uma matriz de dimensão 2\times2.
  • \mathrm{A}^{\mathrm{t}} é a transposta de \mathrm{A} (troca linhas por colunas).
  • O produto pedido é \mathrm{A}^{\mathrm{t}}\cdot\mathrm{B}.
O que o problema pede: calcular explicitamente a matriz \mathrm{A}^{\mathrm{t}}\cdot\mathrm{B}.]

Passo 2

Calcular \mathrm{A}^{\mathrm{t}} (transposta de \mathrm{A}).
Regra: a transposta troca linhas por colunas. Se \mathrm{A}=(a_{ij}) tem dimensão m\times n, então \mathrm{A}^{\mathrm{t}}=(a_{ji}) tem dimensão n\times m.
Aplicando isso em \mathrm{A}:
  • a primeira coluna de \mathrm{A} é \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}, vira primeira linha de \mathrm{A}^{\mathrm{t}};
  • a segunda coluna de \mathrm{A} é \begin{pmatrix}2\\[2pt]-1\end{pmatrix}, vira segunda linha de \mathrm{A}^{\mathrm{t}};
  • a terceira coluna de \mathrm{A} é \begin{pmatrix}-1\\[2pt]2\end{pmatrix}, vira terceira linha de \mathrm{A}^{\mathrm{t}}.
Portanto
\mathrm{A}^{\mathrm{t}}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix},
que é de dimensão 3\times2.]

Passo 3

Verificar compatibilidade do produto e fórmula dos elementos do produto.
Regra de compatibilidade: se X tem dimensão m\times n e Y tem dimensão n\times p, então o produto XY está definido e tem dimensão m\times p.
Aqui \mathrm{A}^{\mathrm{t}} é 3\times2 e \mathrm{B} é 2\times2, logo o produto \mathrm{A}^{\mathrm{t}}\mathrm{B} está definido e será uma matriz 3\times2.
Fórmula do elemento (i,j) do produto:
(\mathrm{A}^{\mathrm{t}}\mathrm{B})_{ij}=\sum_{k=1}^{2} (\mathrm{A}^{\mathrm{t}})_{ik}\,B_{kj},
onde o somatório vai até 2 porque as matrizes têm 2 colunas / linhas compatíveis.

Passo 4

Calcular elemento a elemento (produto escalar entre linha i de \mathrm{A}^{\mathrm{t}} e coluna j de \mathrm{B}).
  1. Elemento (1,1):
(\mathrm{A}^{\mathrm{t}}\mathrm{B})_{11}= (1)\cdot(2) + (0)\cdot(1) = 2 + 0 = 2.
  1. Elemento (1,2):
(\mathrm{A}^{\mathrm{t}}\mathrm{B})_{12}= (1)\cdot(-1) + (0)\cdot(0) = -1 + 0 = -1.
  1. Elemento (2,1):
(\mathrm{A}^{\mathrm{t}}\mathrm{B})_{21}= (2)\cdot(2) + (-1)\cdot(1) = 4 - 1 = 3.
  1. Elemento (2,2):
(\mathrm{A}^{\mathrm{t}}\mathrm{B})_{22}= (2)\cdot(-1) + (-1)\cdot(0) = -2 + 0 = -2.
  1. Elemento (3,1):
(\mathrm{A}^{\mathrm{t}}\mathrm{B})_{31}= (-1)\cdot(2) + (2)\cdot(1) = -2 + 2 = 0.
  1. Elemento (3,2):
(\mathrm{A}^{\mathrm{t}}\mathrm{B})_{32}= (-1)\cdot(-1) + (2)\cdot(0) = 1 + 0 = 1.

Passo 5

Montar a matriz resultado com os elementos calculados. A matriz produto \mathrm{A}^{\mathrm{t}}\mathrm{B} (dimensão 3\times2) é
\mathrm{A}^{\mathrm{t}}\mathrm{B}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\[4pt] 3 & -2 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Força aí — tudo certo: transposta, compatibilidade e multiplicação elemento a elemento concluídas.]

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & -1 \\[4pt] 3 & -2 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}]

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