Determine a matriz do operador
definido por
em relação às bases
e
.
Passo 1
O enunciado dá o operador
definido por
e pede a matriz de
em relação às bases
As perguntas explícitas são:
- Encontrar a matriz de
relativa às bases e .
Informações relevantes fornecidas:
- A regra explícita para
(segunda componente tem o produto ). - A base
com os vetores e . - A coleção
com os vetores e .
Passo 2
O que é necessário para existir a “matriz de um operador linear”?
- Para que tenha uma matriz em
é preciso que o mapa seja linear. Linhares: linearidade significa duas propriedades para todo e todo escalar : - aditividade:
, - homogeneidade:
.
- aditividade:
- Além disso, para falar em "matriz de
relativa às bases e " é preciso que e sejam, de fato, bases de . Uma base é um conjunto de dois vetores linearmente independentes que geram .
Vou checar ambas as condições: (A) se
é linear; (B) se
e
são bases.
Passo 3
Checagem da linearidade de
. Vou testar a aditividade com vetores simples:
-
Tome
e .
Calcule, e . Primeiro,Depois,Agora,Sefosse aditivo, deveríamos ter Mas obtivemos. Portanto a aditividade falha.
Conclusão desta checagem:
NÃO é linear (já que não preserva soma). Como linearidade é requisito para estar em
e para ter matriz linear, não existe matriz linear associada a esse
.
Passo 4
Checagem das coleções
e
quanto a serem bases.
-
Para
: verificar independência linear.
Considere. Isso dá o sistema Da segunda equação. Então . Logo os vetores são linearmente independentes e é uma base de . -
Para
: os dois vetores são idênticos. Dois vetores iguais são obviamente linearmente dependentes (um é múltiplo escalar do outro com escalar ). Portanto NÃO é uma base de (não formam um par linearmente independente).
Passo 5
Resumo das obstruções encontradas:
- O mapa
dado não é linear (falha da aditividade mostrada no Passo 3). Logo não pertence a e, por consequência, não pode ser representado por uma matriz linear que descreva um operador linear. - Além disso, a coleção
fornecida não é uma base (vetores repetidos), então mesmo que fosse linear não haveria como formar a matriz relativa a porque não é uma base válida.
Por esses dois motivos fica impossível cumprir o pedido tal como escrito.
Resposta
Não existe matriz de
nas bases indicadas:
não é linear (por exemplo
) e, além disso,
não é uma base de
(vetores linearmente dependentes).