Determine a matriz do operador T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{2}\right) definido por T(x, y)=(4 x+3 y, 2 x y) em relação às bases B=\{(1,2),(1,0)\} e C=\{(1,1),(1,1)\}.

Passo 1

O enunciado dá o operador T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=(4x+3y,\;2xy),
e pede a matriz de T em relação às bases
B=\{(1,2),(1,0)\} \qquad\text{e}\qquad C=\{(1,1),(1,1)\}.
As perguntas explícitas são:
  • Encontrar a matriz de T relativa às bases B e C.
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra explícita para T (segunda componente tem o produto 2xy).
  • A base B com os vetores (1,2) e (1,0).
  • A coleção C com os vetores (1,1) e (1,1).

Passo 2

O que é necessário para existir a “matriz de um operador linear”?
  • Para que tenha uma matriz em \mathcal{L}(\mathbb{R}^2) é preciso que o mapa seja linear. Linhares: linearidade significa duas propriedades para todo u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar \alpha:
    1. aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v),
    2. homogeneidade: T(\alpha u)=\alpha T(u).
  • Além disso, para falar em "matriz de T relativa às bases B e C" é preciso que B e C sejam, de fato, bases de \mathbb{R}^2. Uma base é um conjunto de dois vetores linearmente independentes que geram \mathbb{R}^2.
Vou checar ambas as condições: (A) se T é linear; (B) se B e C são bases.

Passo 3

Checagem da linearidade de T. Vou testar a aditividade com vetores simples:
  • Tome u=(1,0) e v=(0,1).
    Calcule T(u), T(v) e T(u+v).
    Primeiro,
    T(1,0) = (4\cdot1+3\cdot0,\;2\cdot1\cdot0) = (4,0).
    Depois,
    T(0,1) = (4\cdot0+3\cdot1,\;2\cdot0\cdot1) = (3,0).
    Agora,
    u+v=(1,1)\quad\Rightarrow\quad T(1,1) = (4\cdot1+3\cdot1,\;2\cdot1\cdot1) = (7,2).
    Se T fosse aditivo, deveríamos ter
    T(1,1)=T(1,0)+T(0,1)=(4,0)+(3,0)=(7,0).
    Mas obtivemos T(1,1)=(7,2)\neq(7,0). Portanto a aditividade falha.
Conclusão desta checagem: T NÃO é linear (já que não preserva soma). Como linearidade é requisito para estar em \mathcal{L}(\mathbb{R}^2) e para ter matriz linear, não existe matriz linear associada a esse T.

Passo 4

Checagem das coleções B e C quanto a serem bases.
  • Para B=\{(1,2),(1,0)\}: verificar independência linear.
    Considere \alpha(1,2)+\beta(1,0)=(0,0). Isso dá o sistema
    \alpha+\beta=0,\qquad 2\alpha+0\beta=0.
    Da segunda equação 2\alpha=0\Rightarrow \alpha=0. Então \beta=0. Logo os vetores são linearmente independentes e B é uma base de \mathbb{R}^2.
  • Para C=\{(1,1),(1,1)\}: os dois vetores são idênticos. Dois vetores iguais são obviamente linearmente dependentes (um é múltiplo escalar do outro com escalar 1). Portanto C NÃO é uma base de \mathbb{R}^2 (não formam um par linearmente independente).

Passo 5

Resumo das obstruções encontradas:
  • O mapa T dado não é linear (falha da aditividade mostrada no Passo 3). Logo não pertence a \mathcal{L}(\mathbb{R}^2) e, por consequência, não pode ser representado por uma matriz linear que descreva um operador linear.
  • Além disso, a coleção C fornecida não é uma base (vetores repetidos), então mesmo que T fosse linear não haveria como formar a matriz relativa a C porque C não é uma base válida.
Por esses dois motivos fica impossível cumprir o pedido tal como escrito.

Resposta

Não existe matriz de T nas bases indicadas: T não é linear (por exemplo T(1,1)\neq T(1,0)+T(0,1)) e, além disso, C=\{(1,1),(1,1)\} não é uma base de \mathbb{R}^2 (vetores linearmente dependentes).

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