Verifique, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores do operador linear T(x, y)=(2 x-y, x+4 y) :
v=(3,-4)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T e o vetor v:
  • Operador: T(x,y)=(2x-y,\;x+4y).
  • Vetor: v=(3,-4).
A pergunta é: verificar, usando a definição, se v é autovetor de T. Ou seja, precisamos decidir se existe um escalar \lambda tal que
T(v)=\lambda v.

Passo 2

Relembrando a definição (passo-a-passo, como num gabarito):
  • Um vetor não nulo v é autovetor de um operador linear T se existe um número (escala) \lambda — chamado autovalor — tal que T(v)=\lambda v.
  • Em componentes, se v=(v_1,v_2) e T(v)=(w_1,w_2), então v é autovetor se e somente se existem \lambda que satisfaçam simultaneamente
w_1=\lambda v_1 \qquad\text{e}\qquad w_2=\lambda v_2.
Na prática, para checar rápido na prova: calcula-se T(v) e verifica-se se cada componente de T(v) é o mesmo múltiplo da componente correspondente de v.

Passo 3

Vamos aplicar T ao vetor v=(3,-4). Substituindo x=3 e y=-4 em T(x,y):
T(3,-4) = (\,2\cdot 3 - (-4),\; 3 + 4\cdot (-4)\,).
Calcule cada componente passo a passo:
2\cdot 3 - (-4)=6+4=10,
3 + 4\cdot(-4)=3-16=-13.
Portanto
T(3,-4)=(10,-13).

Passo 4

Agora verificamos se (10,-13) é múltiplo de (3,-4). Se existir \lambda tal que (10,-13)=\lambda(3,-4), então as duas igualdades devem valer:
10=3\lambda \qquad\text{e}\qquad -13=-4\lambda.
Resolvendo cada uma:
\lambda=\frac{10}{3}, \qquad \lambda=\frac{13}{4}.
Esses dois valores não são iguais ( \dfrac{10}{3}\neq\dfrac{13}{4}; numericamente 3{,}333\ldots\neq3{,}25). Logo não existe um único \lambda que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Passo 5

Conclusão lógica: como não existe escalar \lambda com T(3,-4)=\lambda(3,-4), o vetor v=(3,-4) não é autovetor de T.

Resposta

Não. T(3,-4)=(10,-13), que não é múltiplo de (3,-4).

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