Verifique, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores do operador linear
:
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
e o vetor
:
- Operador:
. - Vetor:
.
A pergunta é: verificar, usando a definição, se
é autovetor de
. Ou seja, precisamos decidir se existe um escalar
tal que
Passo 2
Relembrando a definição (passo-a-passo, como num gabarito):
- Um vetor não nulo
é autovetor de um operador linear se existe um número (escala) — chamado autovalor — tal que . - Em componentes, se
e , então é autovetor se e somente se existem que satisfaçam simultaneamente
Na prática, para checar rápido na prova: calcula-se
e verifica-se se cada componente de
é o mesmo múltiplo da componente correspondente de
.
Passo 3
Vamos aplicar
ao vetor
. Substituindo
e
em
:
Calcule cada componente passo a passo:
Portanto
Passo 4
Agora verificamos se
é múltiplo de
. Se existir
tal que
, então as duas igualdades devem valer:
Resolvendo cada uma:
Esses dois valores não são iguais (
; numericamente
). Logo não existe um único
que satisfaça ambas as equações simultaneamente.
Passo 5
Conclusão lógica: como não existe escalar
com
, o vetor
não é autovetor de
.
Resposta
Não.
, que não é múltiplo de
.