Dadas as transformações lineares
e
, determine as leis que definem:
(a)
e
(b)
e
(c) Verifique se
.
(a)
(b)
(c) Verifique se
Passo 1
O enunciado nos dá duas transformações lineares
definidas por (peguei estas fórmulas do enunciado):
O que se pede:
(a) encontrar as leis que definem e
;
(b) encontrar as leis que definem e
;
(c) verificar se .
(a) encontrar as leis que definem
(b) encontrar as leis que definem
(c) verificar se
Passo 2
Lembrete prático sobre soma e diferença de transformações lineares (aula rápida): se
e
são transformações lineares em
, então para todo vetor
vale
Ou seja, para obter a soma (ou diferença) aplica-se cada transformação ao mesmo vetor e soma/subtrai-se coordenada a coordenada os resultados. Vamos aplicar isso coordenada a coordenada às fórmulas dadas.
Passo 3
Calcular
usando a definição:
Substituindo
e
e somando coordenadas:
Passo 4
Calcular
de modo análogo:
Substituindo e subtraindo coordenadas:
Passo 5
Agora composição: lembrete prático (mini-aula). A composição
significa aplicar
primeiro e depois
. Ou seja, para todo
,
Vamos aplicar isso calculando
(aplica
depois
) e
(aplica
depois
).
Passo 6
Calcular
. Primeiro calcula-se
. Em seguida aplica-se
a esse resultado:
Usando a fórmula de
temos
Portanto
Passo 7
Calcular
. Primeiro
. Em seguida aplica-se
:
Usando a fórmula de
obtemos
Portanto
Passo 8
Verificação se
. Para serem iguais precisaríamos que as duas funções coincidissem para todo
. Compare as componentes:
- Primeira componente:
(de ) versus (de ). Essas expressões só são iguais para vetores com , mas não para todo . - Segunda componente:
versus ; já são diferentes para qualquer .
Como existem vetores
para os quais as imagens pelas duas composições são diferentes (por exemplo
dá
e
), concluímos que
Resposta
(a)
(b)
(c) Não, .
(b)
(c) Não,