Dadas as transformações lineares T_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T_{1}(x, y)=(x-y, 2 x) e T_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T_{2}(x, y)=(2 x,-y), determine as leis que definem:
(a) T_{1}+T_{2} e T_{1}-T_{2}
(b) T_{1} \circ T_{2} e T_{2} \circ T_{1}
(c) Verifique se T_{1} \circ T_{2}=T_{2} \circ T_{1}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas transformações lineares T_{1},T_{2}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definidas por (peguei estas fórmulas do enunciado):
T_{1}(x,y)=(x-y,\,2x),\qquad T_{2}(x,y)=(2x,\,-y).
O que se pede:
(a) encontrar as leis que definem T_{1}+T_{2} e T_{1}-T_{2};
(b) encontrar as leis que definem T_{1}\circ T_{2} e T_{2}\circ T_{1};
(c) verificar se T_{1}\circ T_{2}=T_{2}\circ T_{1}.

Passo 2

Lembrete prático sobre soma e diferença de transformações lineares (aula rápida): se S e T são transformações lineares em \mathbb{R}^2, então para todo vetor v\in\mathbb{R}^2 vale
(S+T)(v)=S(v)+T(v),\qquad (S-T)(v)=S(v)-T(v).
Ou seja, para obter a soma (ou diferença) aplica-se cada transformação ao mesmo vetor e soma/subtrai-se coordenada a coordenada os resultados. Vamos aplicar isso coordenada a coordenada às fórmulas dadas.

Passo 3

Calcular (T_{1}+T_{2})(x,y) usando a definição:
(T_{1}+T_{2})(x,y)=T_{1}(x,y)+T_{2}(x,y).
Substituindo T_{1}(x,y)=(x-y,\,2x) e T_{2}(x,y)=(2x,\,-y) e somando coordenadas:
(T_{1}+T_{2})(x,y)=(x-y+2x,\;2x+(-y))=(3x-y,\;2x-y).

Passo 4

Calcular (T_{1}-T_{2})(x,y) de modo análogo:
(T_{1}-T_{2})(x,y)=T_{1}(x,y)-T_{2}(x,y).
Substituindo e subtraindo coordenadas:
(T_{1}-T_{2})(x,y)=(x-y-2x,\;2x-(-y))=(-x-y,\;2x+y).

Passo 5

Agora composição: lembrete prático (mini-aula). A composição S\circ T significa aplicar T primeiro e depois S. Ou seja, para todo (x,y),
(S\circ T)(x,y)=S\big(T(x,y)\big).
Vamos aplicar isso calculando T_{1}\circ T_{2} (aplica T_{2} depois T_{1}) e T_{2}\circ T_{1} (aplica T_{1} depois T_{2}).

Passo 6

Calcular T_{1}\circ T_{2}. Primeiro calcula-se T_{2}(x,y)=(2x,-y). Em seguida aplica-se T_{1} a esse resultado:
T_{1}\big(T_{2}(x,y)\big)=T_{1}(2x,-y).
Usando a fórmula de T_{1} temos
T_{1}(2x,-y)=(2x-(-y),\;2\cdot(2x))=(2x+y,\;4x).
Portanto
(T_{1}\circ T_{2})(x,y)=(2x+y,\;4x).

Passo 7

Calcular T_{2}\circ T_{1}. Primeiro T_{1}(x,y)=(x-y,2x). Em seguida aplica-se T_{2}:
T_{2}\big(T_{1}(x,y)\big)=T_{2}(x-y,2x).
Usando a fórmula de T_{2} obtemos
T_{2}(x-y,2x)=(2\cdot(x-y),\;-(2x))=(2x-2y,\;-2x).
Portanto
(T_{2}\circ T_{1})(x,y)=(2x-2y,\;-2x).

Passo 8

Verificação se T_{1}\circ T_{2}=T_{2}\circ T_{1}. Para serem iguais precisaríamos que as duas funções coincidissem para todo (x,y). Compare as componentes:
  • Primeira componente: 2x+y (de T_{1}\circ T_{2}) versus 2x-2y (de T_{2}\circ T_{1}). Essas expressões só são iguais para vetores com y=0, mas não para todo (x,y).
  • Segunda componente: 4x versus -2x; já são diferentes para qualquer x\neq 0.
Como existem vetores (x,y) para os quais as imagens pelas duas composições são diferentes (por exemplo (x,y)=(1,0) (T_{1}\circ T_{2})(1,0)=(2\cdot1+0,4\cdot1)=(2,4) e (T_{2}\circ T_{1})(1,0)=(2\cdot1-0,-2\cdot1)=(2,-2)), concluímos que
T_{1}\circ T_{2}\neq T_{2}\circ T_{1}.

Resposta

(a) (T_{1}+T_{2})(x,y)=(3x-y,\,2x-y) \qquad (T_{1}-T_{2})(x,y)=(-x-y,\,2x+y)
(b) (T_{1}\circ T_{2})(x,y)=(2x+y,\,4x) \qquad (T_{2}\circ T_{1})(x,y)=(2x-2y,\,-2x)
(c) Não, T_{1}\circ T_{2}\neq T_{2}\circ T_{1}.

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