Determine a matriz [T]_{C}^{B} da transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y)= (3 x-y,-3 x+y), considerando as bases: B=\{(1,1),(0,2)\} e C=\{(-1,0),(1,1)\}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base da transformação linear T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 dada por
T(x,y) = (3x-y,\,-3x+y),
quando o domínio é descrito pela base B e o contradomínio pela base C, onde
B=\{(1,1),(0,2)\},\qquad C=\{(-1,0),(1,1)\}.
Pergunta explícita: determinar a matriz [T]_{C}^{B} (isto é, a matriz que representa T cujo domínio usa as coordenadas em B e o contradomínio usa coordenadas em C).
Informações dadas:
  • A transformação linear T definida por T(x,y)=(3x-y,\,-3x+y).
  • Base do domínio B com vetores b_1=(1,1) e b_2=(0,2) (na ordem dada).
  • Base do contradomínio C com vetores c_1=(-1,0) e c_2=(1,1) (na ordem dada).

Passo 2

Explicação do que significa encontrar [T]_{C}^{B} (passo didático):
  • Para uma transformação linear T, a matriz [T]_{C}^{B} tem como coluna j as coordenadas do vetor T(b_j) escritas na base C.
  • Ou seja, para cada vetor base b_j de B calcula-se T(b_j) (no espaço padrão \mathbb{R}^2) e depois resolve-se para os escalares \alpha,\beta tal que
T(b_j)=\alpha\,c_1+\beta\,c_2.
  • Esses escalares \alpha,\beta são a coluna j da matriz [T]_{C}^{B} (na ordem \begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix}).

Passo 3

Calcular T aplicado ao primeiro vetor da base B, b_1=(1,1).
Usando a fórmula de T:
T(1,1) = (3\cdot 1 - 1,\; -3\cdot 1 + 1) = (2,\,-2).
Agora escrever T(1,1) como combinação linear de c_1 e c_2. Procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha(-1,0) + \beta(1,1) = (2,-2).
Escrevendo coordenadas, isso dá o sistema
(-\alpha + \beta,\;\beta) = (2,-2).
Comparando componentes obtemos duas equações:
\beta = -2,
-\alpha + \beta = 2.
Substituindo \beta=-2 na segunda equação:
-\alpha + (-2) = 2 \quad\Rightarrow\quad -\alpha = 4 \quad\Rightarrow\quad \alpha = -4.
Portanto as coordenadas de T(b_1) na base C são \begin{pmatrix}-4\\\ -2\end{pmatrix}. Essa será a primeira coluna de [T]_{C}^{B}.

Passo 4

Calcular T aplicado ao segundo vetor da base B, b_2=(0,2).
Usando T:
T(0,2) = (3\cdot 0 - 2,\; -3\cdot 0 + 2) = (-2,\,2).
Escrever T(0,2) como combinação linear de c_1 e c_2: encontrar \alpha,\beta tais que
\alpha(-1,0) + \beta(1,1) = (-2,2).
Isto dá o sistema
(-\alpha + \beta,\;\beta) = (-2,2).
Comparando componentes:
\beta = 2,
-\alpha + \beta = -2.
Substituindo \beta=2 na segunda equação:
-\alpha + 2 = -2 \quad\Rightarrow\quad -\alpha = -4 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 4.
Assim as coordenadas de T(b_2) na base C são \begin{pmatrix}4\\\ 2\end{pmatrix}. Essa será a segunda coluna de [T]_{C}^{B}.

Passo 5

Montar a matriz [T]_{C}^{B} com as colunas obtidas, lembrando que a ordem das colunas corresponde à ordem dos vetores em B:
  • coluna 1 = coordenadas de T(b_1) em C = \begin{pmatrix}-4\\\ -2\end{pmatrix},
  • coluna 2 = coordenadas de T(b_2) em C = \begin{pmatrix}4\\\ 2\end{pmatrix}.
Portanto a matriz é
[T]_{C}^{B} = \begin{pmatrix}-4 & 4\\[4pt] -2 & 2\end{pmatrix}.]

Resposta

[T]_{C}^{B}=\begin{pmatrix}-4 & 4\\[4pt]-2 & 2\end{pmatrix}]

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