Determine a matriz
da transformação linear
definida por
, considerando as bases:
e
.
Passo 1
O enunciado pede a matriz de mudança de base da transformação linear
dada por
quando o domínio é descrito pela base
e o contradomínio pela base
, onde
Pergunta explícita: determinar a matriz
(isto é, a matriz que representa
cujo domínio usa as coordenadas em
e o contradomínio usa coordenadas em
).
Informações dadas:
- A transformação linear
definida por . - Base do domínio
com vetores e (na ordem dada). - Base do contradomínio
com vetores e (na ordem dada).
Passo 2
Explicação do que significa encontrar
(passo didático):
- Para uma transformação linear
, a matriz tem como coluna as coordenadas do vetor escritas na base . - Ou seja, para cada vetor base
de calcula-se (no espaço padrão ) e depois resolve-se para os escalares tal que
- Esses escalares
são a coluna da matriz (na ordem ).
Passo 3
Calcular
aplicado ao primeiro vetor da base
,
.
Usando a fórmula de :
Usando a fórmula de
Agora escrever
como combinação linear de
e
. Procuramos
tais que
Escrevendo coordenadas, isso dá o sistema
Comparando componentes obtemos duas equações:
Substituindo
na segunda equação:
Portanto as coordenadas de
na base
são
. Essa será a primeira coluna de
.
Passo 4
Calcular
aplicado ao segundo vetor da base
,
.
Usando :
Usando
Escrever
como combinação linear de
e
: encontrar
tais que
Isto dá o sistema
Comparando componentes:
Substituindo
na segunda equação:
Assim as coordenadas de
na base
são
. Essa será a segunda coluna de
.
Passo 5
Montar a matriz
com as colunas obtidas, lembrando que a ordem das colunas corresponde à ordem dos vetores em
:
- coluna 1 = coordenadas de
em = , - coluna 2 = coordenadas de
em = .
Portanto a matriz é